数III 微分法 オイラー数？

質問

y=e^(4x)を微分せよ。　という問題なんですが、

(e^x)'=e^x　という公式から
e^4　なのかなと思ったのですが4xを微分したものをかけているようですが・・・　なぜでしょうか？
もしかしたら、上に書いた公式は、本当は
(e^x)'=e^x・x'ってことだけど、x’=1だから省略しているのでしょうか・・・。
そうだとしてもなぜ、eの指数を微分した奴をかけるのでしょうか？合成とかのときは中身を微分していなかったらそれを微分したのをまたかける、というのは納得できるのですが、この場合、「指数」を微分した奴をかけるんですよね・・・。
公式的に覚えろ、ってことなら納得いきますが、何か理由があるのでしょうか？
ちなみに、eってのもよく分かっておりません。
eってのがきたら微分しても指数や係数はそのままなんだな、という風に理解しているだけなのですが・・・。 e=2.71828・・・　ってのは何なのでしょうか、この問題にはあまり関係ないようですが。

なんか意味が分からずただ操作しているだけで、何をやっているか理解できてないのですが・・・
考え方等、教えていただけたらと思いますm(.. )m

回答No.4

kabaokaba · ベストアンサー

e^{4x}の導関数については
No.1さんのおっしゃるとおりです．
これは合成関数ですし，
No.1さんの(dy/du)(du/dx)=dy/dxも
全く数学的に問題はありません
そもそも，初等的には
この約分のことを
合成関数の微分というわけです
＃この記号を考えたライプニッツのすごいとこですね
＃＃大学の数学科でもいけば
＃＃また違った見方で扱います

>もしかしたら、上に書いた公式は、本当は
>(e^x)'=e^x・x'ってことだけど、x’=1だから省略して
>いるのでしょうか・・・。

これはある意味正解です．
No.1さんの表記でu(x)がたまたまu(x)=xであった
と解釈すればいいだけです．
合成関数の微分はu(x)=xのときには
何にも意味のない式になるということです．

>合成とかのときは中身を微分していなかったら
>それを微分したのをまたかける、
>というのは納得できるのですが、
>この場合、「指数」を微分した奴をかけるんですよ
>ね・・・。

この理解は間違いです．
f(u(x))の導関数はf'(u(x))u'(x)ですので
中身を微分したものは「常に」かけるんです
中身という表現だと分かりにくいので
「かたまり」の方がイメージがつくかもしれません
簡単な例だと
(x^2+1)^2
を微分したいときに
x^2+1を「かたまり」だと思うと
X^2 と X=x^2+1 に分けることができて
X^2をXで微分すると2X
x^2+1をxで微分すると2x
これを掛け算して2X(2x)
Xをx^2+1に戻して2(x^2+1)(2x)=4x(x^2+1)
この操作が合成関数の微分です
＃(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1なのでこれを微分すると
＃一致するのを確認してください

微分・積分は操作の練習をしてるうちに
なんとなく分かってくるものもあります
イメージは積分のほうがつかみやすいですけど
計算は微分から始めた方が楽なので
大抵は微分のあとに積分です．

で，eというのは
天下り的にいえば
(a^x)'=a^x
を満たす唯一の正の数のことです．
微分しても何にも変わらない関数があると
便利なんです．
物理現象の解析には必須です．

例えば掛け算・割り算だって
1をかけても1で割っても変わらないですし
足し算・引き算でも
0を足しても引いても変わらないです．
それと同じようなもので
ある操作に対して
それを行っても変化しない
普遍なものというのは
重要な意味を持つことがよくあるんですよ．
微分・積分の場合e^xってがそれに対応します．

eがどれくらい大事かというのも
これから先にいけば自然に理解できるでしょうし
今わからなくても焦らずに地道にいくしかないです．
そのうち分かるくらいの気持ちでいる方がよいでしょう

お礼

なるほど、なんとなく納得することができました！
eってのは微分しても何にも変わらないんですねー。

回答No.3

oyaoya65

y=f(g(x))をxで微分するには、
y'=(df/dg)(dg/dx)
という関係の定理があるかと思いです。

f(x)=e^x
g(x)=4x
とするれば
y=f(g(x))=e^{g(x)}=e^(4x)
という関係です。

これを上の定理に適用すれば、

仮にX=g(x)=4xとおけば
y'={e^(4x)}'={f(g(x))}'=[{f(X)}/dX] (dX/dx)
=[d(e^X)/dX]{d(4x)/dx}
=[{e^X}]{4}
=4{e^(4x)}
ということです。

「e」という数は自然対数の底として知られた数ですが、
最大の特徴が以下のように微分しても、積分しても同じになる関数だということです。

(e^x)' = e^(x)
∫(e^x)dx = e^(x)＋C（Cは積分定数）

数学で現れる不思議な定数の1つで、イギリスの数学者の名前を取ってネイピア（ネピア）数として歴史的に知られている数ですね。（ネピアは対数の概念を発見し、自然対数を考え出した人ですね。）
（参考）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0
eの定義はいろいろな式で定義されています。

ネピアによって,次の微積分が可能になったわけですね。

∫(1/x)dx=log_e (x)+C
{log_e (x)}'=1/x

eはオイラーの公式として知られている有名な次の式でsin x, cos xとも関係のある数ですね。

e^(ix)=cos x + i sin x
iは虚数単位です。

このeの発見で微分・積分学や複素関数論が発達して、今日の数学や科学の発達に貢献したことは言うまでも無いですね。

eは何か、というのは円周率のπが何か、虚数単位のi=√(-1)が何か、といったこと似ています。eの文字は数学者のオイラー（Euler）の名前の頭文字の「e」を使って表しているわけです。
とにかく、数学をするには、無くてはならない便利な数の１つです。
過去の数学者や科学者がいろいろ苦労して発見した数学定数というわけですね。
eの値：http://www.h2.dion.ne.jp/~dra/suu/chi2/atai/1.html

お礼

なるほど、詳しくありがとうございました!!
y=f(g(x))=e^{g(x)}=e^(4x)　と２つ組み合わせたように考えればいいわけですね(^^

回答No.2

tuort_sig

合成関数の微分「dy/dx＝dy/dt・dt/dx」・・・(＊)というのは知ってますよね？（これは数IIIの教科書にある筈です。証明もキチっと載っている筈。）
では、y＝e^(4x)を微分とのことですが、ここでt＝4xと置きます。するとy＝e^tとなりますね。dy/dt（yをtで微分）＝e^t　また、t＝4xについてdt/dx＝4　(＊)よりdy/dx＝(e^t)・4　さらに、t＝4xなので結局dy/dx＝y'＝4e^(4x)となるわけです。

eはネイピア数といいます。詳しくは大学で嫌というほど叩き込まれるでしょうから、今のところはそのままeと仲良くしてあげといてください。一応こんなやつです↓今はそんなに気にしないで！

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0

回答No.1

yunchu

こんにちは。
y=e^(4x)の微分なんですが、
これも合成と同じ考え方で解決できると思います。
合成を「中身を微分していなかったらそれを微分したのをまたかける」と覚えているからわかりにくいのではないでしょうか。

本題に入りますが、
u=4xとおいて考えてみましょう。
すると
y=e^uとなります。
求めたいのはy'=dy/dxですよね。でも、右辺にxはないのでまずuで微分します。その後u=4xをxで微分したものをかけると、duが約分されてうまくいきます。
言葉で言ってもわかりにくいと思うので以下参照。

u=4xとおくとy=e^u
y'=dy/dx
=dy/du*du/dx
=e^u*4
=e^(4x)*4 （u=4xを代入して戻しました）

これは正規の考え方ではないかもしれませんが、全てうまくいきます。
私も慣れるまで複雑な問題はuとおいてやっていました。

あと、eは何かというのについては、数学者ではないのでちゃんとした回答はできません、
e=lim(1+1/n)^n (n→∞)を満たす数としか答えられないです。。
すいません。