積分です。

質問

原点を通る曲線y=f(x)を鉛直なｙ軸の周に回転してできる曲面を器壁とする容器に水が入っている。底に小孔があってこれから水が流出して水の減る具合は、そのときの水の深さｙの平方根に比例し、k√y cc/secで表される。
水面の降下速度が常に一定でａcm/secとなるようするためには、f(x)はどんな関数でなければならないか。またこのように容器を作ったとき水量がもとの半分になるのは、深さがもとの何分の１となるときか。

secの意味が分からないし、どう計算したらいいかも分かりません。どうか詳しく教えて下さい。お願いします。

回答No.3

uranasu

先ず、f(x)の逆関数
ｘ＝ｇ（ｙ）
を考える。

微少な時間ｄｔに流出する水量は
k√y ＊ｄｔ　　　　（１）
である。
このとき、水面の変化量ｄｙは
π＊ｘ＾２＊ｄｙ　　（２）
である。半径ｘ、厚さｄｙの円板を考えるといいでしょう。
（１）＝（２）なので、単位時間当たりの水面の変化量は
ｄｙ／ｄｔ＝k√y ／（π＊ｘ＾２）＝ａ
である。ｘ＝ｇ（ｙ）であるので
ｇ（ｙ）＾２＝ｋ／（π＊ａ）＊√y
ｇ（ｙ）＝√（ｋ／（π＊ａ））＊ｙ＾（１／４）　

ｘ＝ｇ（ｙ）であるので、上の式を４乗する。
ｙ＝｛（π＊ａ）＾２／ｋ＾２｝＊ｘ＾４
これが関数の解である。

水量については
深さＹの水量Ｖ（Ｙ）はｇ（ｙ）をｙ軸の周りに回転した量であるので、以下の式が成り立つ。

∫［ｙ＝０→ｙ＝Ｙ］π＊ｇ（ｙ）＾２ｄｙ

＝３＊ｋ／（２＊ａ）Ｙ√Ｙ

水量の比率が半分になるのは
　Ｖ（ｙ）／Ｖ（Ｙ）＝１／２
となるｙ／Ｙを求めればいい。
ｙ／Ｙ＝（１／４）＾（１／３）＝０．６２９９６
素量が半分になる深さは
（１／４）＾（１／３）＝０．６２９９６
である。
以上です。

回答No.2

zhihui

secはsecond(秒)の略なので、acm/secは一秒間にaセンチメートルという意味です。積分は苦手なので、それにはお答えできませんm(_ _)m
頑張ってください！！

回答No.1

fine_day

secは「second」の略で「秒」の意味です。
○cc/secは「１秒あたり○cc」、
○cm/secは「１秒あたり○cm」になります。
単位の意味が理解できたら、もう一度問題に取り組んでみてください。
がんばってくださいねー。