積分の応用

質問

y=(x^2 -1)^2 x≧0 0≦y≦9
y軸のまわりに回転してできる曲面の内面とする容器を作り
鉛直上向きになるようにする。
この容器に水を注ぐとき、深さをhとしすると
水面の面積S（h）を求めよ。

1＜h≦9の時は容器はただの円なのでS（h）＝πx＾2＝π（√h　+1)というのは分かりますが
0≦h≦1の時はS（h）＝2π√hとなる導出がわかりません。
導出では
x^2＝±√y +1
S（h）＝π・Xa^2-π・Xb^2より
　　　＝π（√y+1)-π(-√y +1)=π（√h　+1)
よろしくお願いします。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

0≦h≦1のときは

曲線：y=(x^2 -1)^2 x≧0

と水面の高さを表す

直線：y=ｈ

の共有点が2つになります（h=1のときは1つ）(図)．それらのｘ座標を小さくない方からXa,Xbとするとこれらは

(x^2-1)^2=h

の解です．

x^2-1=±√h
x^2=1±√h

Xa^2=1+√h,Xb^2=1-√h

水面は半径Xaの円から半径Xbの円をくりぬいた円環で，その面積は

S(h)=πXa^2-πXb^2

=π(Xa^2-Xb^2)

=π{1+√h-(1-√h)}

=2π√h

となります．

積分の応用ならこのつづきがあるのでは．

容器に入った水の深さがhであるとき，水の体積V(h)は

V(h)=∫_0^hS(y)dy

で与えられる．0≦h≦1のとき

V(h)=∫_0^h2π√ydy=2π∫_0^hy^{1/2}dy=2π[2y^{3/2}/3]_0^h

=2π2h^{3/2}=4πh√h

1<h≦9のとき

V(h)=∫_0^12π√ydy+∫_1^h(√y+1)dy

=4π+[2y^{3/2}/3+y]_1^h

=4π+2h^{3/2}/3+h-(2/3+1)

=2h√h/3+h-5/3+4π

お礼

よくわかりました(^O^)
ありがとうございました

回答No.1

noname#231526

計算はしておりませんが、書いてあることを信頼して想像を述べれば、hが1より大きい時には、水平断面の形状は単なる円、これはいいですね。なので円の面積を出しています。
　で、hが0以上1以下の場合には、水平断面の形状はドーナツ型です。ですから、外側の円の面積から、内側の円の面積を引いているんだと思いますが、そうなっていませんか？