【漸化式】この式変形はどうして？

質問

数列Ａｎについて
ｎ番目の項をＡ<n>、ｎ+1番目の項をＡ<n+1>と表します。

Ａ<ｎ+1>－１＝１／２（Ａ<n>－１）
∴Ａ<n>－１＝(１／２)^n(Ａ<0>－１)

ということなのですが、どうしてでしょうか？
情報不足もあると存じますので、その際は補足要求をお願いいたします。

回答No.2

banakona · ベストアンサー

隣接２項間の漸化式ということは、隣り合うどの２項の間でもその関係が成り立つということ。
＞Ａ<ｎ+1>－１＝１／２（Ａ<n>－１）　
ということは、
　Ａ<ｎ>－１＝１／２（Ａ<n-1>－１）　・・・（１）
更に
　Ａ<ｎ-1>－１＝１／２（Ａ<n-2>－１）　・・・（２）
もう一つ書くと
　Ａ<ｎ-2>－１＝１／２（Ａ<n-3>－１）　・・・（３）

（３）の左辺を（２）の右辺に代入して、更にその左辺を（１）の右辺に代入すると
　Ａ<ｎ>－１＝１／２^3（Ａ<n-3>－１）

上記のことを、右辺のＡ<n-3>がＡ<0>になるまで繰り返すと
　Ａ<n>－１＝(１／２)^n(Ａ<0>－１)
になる。

お礼

回答ありがとうございます。
なるほどですね…
banakona様のような説明が書かれていなかったということは
公式化しているのでしょうかね？

回答No.4

okormazd

＞Ａ<ｎ+1>－１＝１／２（Ａ<n>－１）　
ということは、
　Ａ<ｎ>－１＝１／２（Ａ<n-1>－１）　・・・（１）
　Ａ<ｎ-1>－１＝１／２（Ａ<n-2>－１）　・・・（２）
　Ａ<ｎ-2>－１＝１／２（Ａ<n-3>－１）　・・・（３）
　　　・
　　　・
　Ａ<2>－１＝１／２（Ａ<1>－１)　・・・(ｎ－１)
　Ａ<1>－１＝１／２（Ａ<0>－１)　・・・(ｎ)
左辺、右辺（１）から（ｎ）まで全部掛け算して、両辺の共通項を約せば、
Ａ<n>－１＝(１／２)^n(Ａ<0>－１)
になる。

お礼

回答ありがとうございます。
説明していただけると納得なのですがなかなか閃きませんでした。
テンプレ化しているでしょうか…？
それとも皆さん普通に気づかれるのでしょうか…？

回答No.3

bgm38489

B<n>=A<n>-1として考えたら、簡単。B<n>は等比数列。

お礼

回答ありがとうございます。
私も漸化式の問題はそうして解いてきたのですが
何の説明も無かったので他の方法があるのかな～と思いまして。。。

回答No.1

noname#101087

上式を繰り返して使えば、<n>を 1 ずつ減らしていけます。
<0> で行き止まり。それが下式。

お礼

回答ありがとうございます。
私の乏しい頭ではちょっと難しいのですが…
ゆっくり考えてみますね。