数学B

質問

2以上の自然数nについて
1+2+3+・・・+n<n2乗
を数学的帰納法によって証明せよ

を式ありで答えて下さい

回答No.3

tomokoich

1+2+3+・・・+n<n^2---(1)とする
n=2の時左辺=1+2=3,右辺=4で(1)が成り立つ

n=k(≧2)の時(1)が成り立つと仮定する
1+2+3+・・・+k<k^2
n=k+1の時
1+2+3+・・・+k+(k+1)-(k+1)^2<k^2+(k+1)-(k+1)^2=-k<0
よって
1+2+3+・・・+k+(k+1)<(k+1)^2
n=k+1の時も成り立つ

ゆえに(1)は2以上の自然数nに対して成り立つ

回答No.2

ninnin315

こんばんは。数学の問題とか懐かしいです。答えとしては不正確かもしれませんが考え方だけ。
n=2のとき
1＋2＜2＾2　つまり３＜４は正しい。

次にn=kのとき成り立つならn=k+1のときも成り立つことを証明します。
n＝kの時

1＋2＋3＋…＋k＜k＾2　　　・・・(1)

n＝k＋1のとき
1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＜(k+1)^2　　　・・・(2)

(1)を使って(2)が成り立つことを示しましょう。
具体的には(2)の左辺から右辺を引いてそれが０より小さいことを示せればおっけーです。

1+2+3＋…＋k+(k+1)－(k+1)^2＜0を示せればいいので1+2+3＋…＋k+(k+1)－(k+1)^2を計算します。

ここで1+2+3＋…＋kの部分に(1)の不等式を使います。すると1+2+3＋…＋k＜k^2なので、

1+2+3＋…＋k+(k+1)＜k^2＋(k+1)です。…(3)
(3)は左辺より右辺のほうが大きいです。そこで(3)の、より大きい数である右辺から(2)の右辺を引いてもなお０より小さいことを示せば(2)は証明できます。
(3)を(2)に当てはめると
k^2+(k+1)－(k+1)^2＝k^2+(k+1)－(k^2+2k+1)
＝-k＜0
（∵kは２以上の自然数なので）
どうですか。間違ってたらすいません。

回答No.1

alice_44

1 + 2 + 3 + … + n < nの2乗　と
n+1 < 2n+1　とを、辺々足し算して、
1 + 2 + 3 + … + (n+1) < (n+1)の2乗。