急ぎです゜(゜´Д｀゜)゜

質問

数学的帰納法の問題です(´；ω；｀)わかりません…
問題
(n+1)(n+2)(n+3)・…・(2n)=2のn乗1・3・5・…・(2n-1)を数学的帰納法で証明せよ
というものです。 無理をいいますが今日中にお願いしたいです(´；ω；｀)

どなたか優しい方、よろしくお願いいたします゜(゜´Д｀゜)゜

回答No.2

cococu713 · ベストアンサー

解いてみました。ご参考になればと思います。

【証明】
(1)n＝1のとき
左辺＝(1＋1)＝2
右辺＝2^1×1＝2
両辺は一致する。

(2)n＝k ( k＝2, 3, 4・・・)のとき与式が成り立つと仮定すると
n＝k＋1のとき

左辺＝(k＋2)(k＋3)・・・(2k)　×　(2k＋1)(2k＋2)
　　＝2(2k＋1)　×　[(k＋1)(k＋2)(k＋3)・・・(2k)]　 （←(2k＋2)＝2(k＋1)）

右辺＝2^(k+1)×1×2×・・・×{2(k＋1)－1}
　　＝2×2^k×1×2×・・・×(2k＋1)
　　＝2×2^k×1×2×・・・×(2k－1)×(2k＋1)
　　＝2(2k＋1)　×　[2^k×1×2×・・・×(2k－1)]

n＝kのとき与式が成り立つなら、n＝k＋1のときも成り立つ。
よって、全ての自然数について命題は成り立つ。
【証明終わり】

お礼

解いていただきありがとうございますm(__)m

お礼がおそくなり申し訳ありません…

とてもわかりやすかったのでベストアンサーに選ばせていただきました(　´∀｀)
ありがとうございます(*^▽^*)

また困ったときに助けていただくとありがたいです(´・ω・)

回答No.4

alice_44

(2n) の階乗を、小さい方の n 項の積と
大きい方の n 項の積に分けて考えれば、
= (n の階乗)×(左辺) となり、
偶数の積と奇数の積に分けて考えれば、
= (n の階乗)×(右辺) となります。
この計算は、総積記号 Π を使って陽に
書き下すことができ、数学的帰納法は不要です。

お礼

解答ありがとうございますm(__)m

実は学校の宿題だったのですが数学的帰納法で解かなければ
ならないとなっていたのですが…

別にそうでなくても解けるということなんですね！
参考になりました。

ありがとうございます！

回答No.3

cococu713

2番目に回答したものです。

(2)n＝k ( k＝2, 3, 4・・・)

なのですが、
これは間違いで「k＝1, 2...」でした。
すみません。

回答No.1

noname#158987

せめて、問題文くらいはちゃんと書き写せるようになりましょう。
ぱっと見、意味不明です。

(n+1)(n+2)(n+3)・…・(2n) = (2^n) * 1・3・5・…・(2n-1)
の数学的帰納法ですね？
2nはn+nにしたほうがやりやすいです。

n=1のとき、
(1+1) = 2 = (2^1) * (1)
でＯＫ．

n=mのときに成り立つとすると
(m+1)(m+2)(m+3)・…・(m+m) = (2^m) * 1・3・5・…・(2m-1)
がなりたつ。
この仮定のもと、　
n=m+1のとき、
((m+1)+1)((m+1)+2)((m+1)+3)・…・((m+1)+(m+1))
=(m+2)(m+3)・…(2m+2)
2m+2よりもう少し前からかいてみると、
=(m+2)(m+3)・…(2m)(2m+1)(2m+2)
=(m+2)(m+3)・…(2m) * (2m+1)(2m+2)
=(m+2)(m+3)・…(2m) * (2m+1) * 2(m+1)
=(m+1)(m+2)(m+3)・…(2m) * (2m+1)*2 ←(m+1)を一番前に持ってきた。
=(2^m) * 1・3・5・…・(2m-1)* (2m+1)*2
=(2^(m+1)) * 1・3・5・…・(2m+1)
=(2^(m+1)) * 1・3・5・…・(2(m+1)-1)

でn=m+1
でも成り立つ。

数学的帰納法はn=mの仮定から、如何に
n=m+1の証明を行うかがポイントとなります。

お礼

解いていただきありがとうございますm(__)m

お礼が遅くなり申し訳ありません…

問題文からきちんとかけるように頑張ります(´Д⊂