数III 極限の質問

質問

正三角形ＡＢＣの内接円Ｏ１の半径をＲとする。
辺ＡＢ、ＡＣと円０１(オー１)に接する円をＯ２とし、辺ＡＢ、ＡＣと円Ｏ２に接する円をＯ３とする。
このように次々に小さくなる円を作るとき、全ての円の面積の和を求めよ。

全体的な方針はわかるのですが、Ｏ２の半径の求め方で詰まってしまいます。
半径の求め方を含め誰かお教え願えないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

birth11 · ベストアンサー

まず、内接円O1の半径をR1とする。内接円O2の半径をR2、内接円Onの半径をRnとする。
正三角形の面積を求める方法で内接円の半径の3倍がAからBCに下ろした垂線の長さであることが分かる。
つまり内接円O2の半径R2は R1 / 3、内接円Onの半径Rnは R1 ( 1 / 3 )^( n - 1 )
(内接円Onの面積)= π R1^2 ( 1 / 9 )

求める全ての円の面積をSnとすると
Sn= lim(n→∞) π R1^2 { 1 - ( 1 / 9 )^n } / ( 1 - 1 / 9 )
= ( 9 / 8 ) π R1^2

R1 = R なので
求める面積は、( 9 / 8 ) π R^2 ……………………(答)

回答No.1

Tacosan

きちんと図示すれば O2 の半径は容易にわかりますよ.

正三角形なので, 内心と重心が一致することは当然わかっていますよね.