数学の三角形の問題です。

質問

三角形ABCの内接円とただ1つの共有点をもつ円のうち、
三角形ABCに含まれかつ辺ABと辺ACの両方に接する円の半径。

解き方を教えて下さい。お願いします。

回答No.3

ereserve67

ANo.2の補足について．

>答えが○/○○√○○という形になるようなのですが、
>ρ=ｒ{1-sin(A/2)}/{1+sin(A/2)} はどのように表せばよいのですか？

求めたい半径ρを△ABCのどのようなパラメーター（辺長a,b,cや角A,B,C）であらわすのかが分かりません．それとも辺の長さなどが指定されていて数値で求めるのですか？

補足

問題にパラメーターの指定はありません。辺の長さも指定されていません。

回答No.2

ereserve67

図を描いてください．

内心をI，内接円半径をｒ，問題の円の中心をO，半径をρとします．

I,Oより辺ACに下ろした垂線の足をそれぞれH,Kとします．2つの直角三角形△IAHと△OAKは相似で，

IH：OK=AI：AO

ｒ：ρ=(AO+ρ+ｒ)：AO

AO=ρ(r+ρ)/(r-ρ)

またρ=AKtan(A/2)であるから

AK=ρ/tan(A/2)

また三平方の定理より

AO^2=AK^2+OK^2

ρ^2(r+ρ)^2/(r-ρ)^2=ρ^2/tan^2(A/2)+ρ^2

(r+ρ)^2/(r-ρ)^2=1/tan^2(A/2)+1
=(1+tan^2(A/2))/tan^2(A/2)=1/{cos^2(A/2)tan^2(A/2)}
={1/sin(A/2)}^2

(r+ρ)/(r-ρ)=1/sin(A/2)

ρ=ｒ{1-sin(A/2)}/{1+sin(A/2)}

補足

答えが○/○○√○○という形になるようなのですが、ρ=ｒ{1-sin(A/2)}/{1+sin(A/2)} はどのように表せばよいのですか？

回答No.1

yyssaa

＞三角形ABCの内接円の中心をO、三角形ABCの内接円とただ1つの
共有点をもつ円のうち、三角形ABCに含まれかつ辺ABと辺ACの両方
に接する円の中心をO'、二つの円の共有点をPとすると、直線AOは
∠BACの二等分線になり、点O'及び点Pは直線AO上の点になります。
点Pを通り直線AOに垂直な直線が辺AB、辺ACと交わる点をそれぞれ
Q、Rとすると、半径を求めようとしている円は、△AQRの内接円に
なります。
　例えば三角形ABCの内接円の半径rと∠BAC=2θが与えられている
とすると、Oから辺ACに下ろした垂線の足をSとして、
OS=r、AO=AP+PO=AP+r、AOsinθ=OSから(AP+r)sinθ=rとなり、APが
rとθの関数AP(r,θ)として得られます。
以上から△AQRは頂角が2θ、高さがAP(r,θ)の二等辺三角形になる
ので、その内接円の半径を計算すれば答えが得られます。