1次変換

質問

以下の問題の解説をよろしくお願いします

1次変換によって4点(1,0),(0,1),(1,1),(1,-1)は順不同に4点(1,0),(0,1),(2,1),(1,1)にうつった。この1次変換を表す行列は何か。

回答No.5

178-tall

謹訂正。

M ： (0,1)→(1,0) から、(b,d) = (1,0)。
つまり M は、
　[ a　1 ；
　　c　0 ]
　　　↓
　[ a　a+1　a-1 ；
　　c　 c　 c ]　　　…(*)

　[ 0　2　1 ；
　　1　1　1 ]　　　…(**)'
目算から。
　a=c=1

回答No.4

178-tall

蛇足。

わざわざ逆行列を登場させるまでもない。

M ： (0,1)→(1,0) から、(b,d) = (1,0)。
つまり M は、
　[ a　1 ；
　　c　0 ]
　　　↓
　[ a　a+1　a ；
　　c　c　 c ]　　　…(*)'

　[ 1　2　1 ；
　　0　1　1 ]　　　…(**)'

目算から。
　a=c=1

回答No.3

178-tall

虱潰しで解けるが、少しでも系統的にならぬものか？
試行の一例を。

はじめの 4 点と変換結果の 4 点は、どちらも 2 次元分布。
そのうちからはじめの (0,1) と、結果の (1,0) を除くと、それぞれ 1 次元分布。

M ： (0,1)→(1,0) から、(b,d) = (1,0)。
つまり M は、
　[ a　1 ；
　　c　0 ]
M の逆行列 N は、
　[ 0　 1/c ；
　　1　-a/c ]
これを、残りの変換結果 3 点を列ベクトル配列した
　[ 0　2　1 ；
　　1　1　1 ]
の左から掛ければ、
　[ 1/c　　1/c　　1/c ；
　 -a/c　 2-(a/c)　1-(a/c) ]
その結果がはじめの 3 点 (順不同)
　[ 1　1　 1 ；
　　0　1　-1 ]
目算から。
　a=c=1

回答No.2

178-tall

>1次変換によって4点(1,0),(0,1),(1,1),(1,-1)は順不同に4点(1,0),(0,1),(2,1),(1,1)にうつった。この1次変換を表す行列は…

変換前後の「ペア探し」がポイントらしい。

変換行列 M を、
　[ a　b ；
　　c　d ]
として、はじめの 4 点を列ベクトル配列し、左から掛ければ、
　[ a　b　a+b　a-b ；
　　c　d　c+d　c-d ]　　　…(*)
これの 3, 4 列目の和 = [2a ；2c] に相当する変換後のペアは、(0,1), (2,1) 。
足すと [2 ；2] なので、a=c=1 らしいとわかる。

　[ 1　b　1+b　1-b ；
　　1　d　1+d　1-d ]　　　…(**)
残った 1, 2 列目に相当する (変換後の) ペアは (1,0), (1,1) なので、(**) から b=1, d=0 なのだろう。

回答No.1

bibendumbibendum

変換前の４点を最初からA,B,C,D、変換後の４点をE,F,G,Hとする。

一次変換は直線を直線に変換する。

C,A,Dは直線に並んでいる。F,H,Gも直線にならんでいる。
CはF、Gどちらに変換されるかはわからないが、C,A,Dの中央にあるAは、F,H,Gの中央のHに変換される。

この直線上にないBは、直線上にないEに変換される。

したがって行列は
1 1
1 0