一次変換とは？（大学受験）

質問

今、行列で一次変換という分野を勉強していますが、一次変換というのがなんなのか全くわかりません。よろしくお願いします。

問題は、xy平面において、直線Y＝－２xに関する対称移動は一次変換となる。このとき、この一次変換を表す行列を求めよです。

テキストをみると、一次変換とは、一次式によって平面上の点をうつしていく変換、とあります。が、この説明の意味が全く意味がわかりません。その後も続いていますが、何度読んでもだめでした。

問題の「直線・・・は一次変換となる。」この部分です。
この問題の解説では、「原点を通る直線に関する対称移動は、一次変換となる。」とありますが、これもわかりません。
点を移していくこと。が一次変換なら。問題文の中の「一次変換となる。」とはどういう状態になった、といいたいのでしょうか。

勉強不足ですが、どなたかアドバイスをお願いいたします。きっと説明不測の点もあると思いますので、そこはご指摘いただければ、補足させていただきます。

回答No.6

R_Earl · ベストアンサー

ANo.3です。

> 一つ気になった点があるのですが、例の２で、b^2が一次式でないというのは理解できたのですが、abは一次式ではないのですか？例えばXY=1としたら、これも二次式ということでしょうか。

次数とは、かけてある文字の個数だとされています（中学数学では）。なのでabもXYも二次式です。
ただy = ax^2のax^2は三次式なのに二次関数と呼ばれますし、
y = ax + bのax + bは二次式なのに一次関数と呼ばれます。
これはxやyのような変数を文字式と考え、aやbを文字式と考えないで
ただの定数（数字）と考えているからかもしれません。
aとbがただの数字、例えばa = 3、b = 1だったら
y = ax + b → y = 3x + 1で文句無く一次式ですし、
y = ax^2 → y = 3x^2で文句無く二次式になります。
大抵の参考書では、移動前の座標を(x,y)、移動後の座標を(X,Y)としていると思いますが、
私が単に自分の好みで(x,y) = (a,b)、(X,Y) = (c,d)としてしまっただけなので、
一応a,b,c,dは定数でなく、変数のつもりです。

> また、一次変換とは、「ルール」が一次式で表すことができることで、定数項が入ってはだめだ、ということですが、y=ax+bというと（bは定数項です。）これはxの一次式といったりすると思うのですが・・・。

y = ax + bは一次式であってます。

例えばルールを
c = 3a + 1
d = 5a - 2b + 5
と決めたとします。上二つの式は一次式です。ただしコレは一次変換とは呼べません。
実は一次変換には定義があります。その条件を満たしていないものは一次変換では無いんです。
（この後のお話は高校数学の範囲外かもしれません。）

ここで、点(a,b)を(c,d)に移す作業（私がルールと書いたものです。）をfで表すとします。
つまり関数っぽく、f(a,b) = (c,d)と書くとします。
一次変換の定義は、

f(x,y) = (u,v)、f(X,Y) =(U,V)の時、
1、f(x+X,y+Y) = (u+U,v+V)
2、f(kx,ky) = (ku,kv)　（kは定数です。）

となっています。
こんな風に定義すると一次変換のルールが『定数項無しの一次式』になります。
ここで定義の2番でk = 0の場合を考えてみると、
f(0,0) = (0,0)
となります。つまり、どんな一次変換でも、原点は原点に移されます。
c = 3a + 1
d = 5a - 2b + 5
のルールでは、(a,b) = (0,0)で(c,d) = (1,5)となり、原点が原点に移らないので一次変換ではありません。
定数項を含んだ一次式は、どれもこのf(0,0) = (0,0)を満たせないので
一次変換にはなりません。

さてこれは私の想像ですが、
『1次式で移動させるものを一次変換と呼ぼう』
としたのではなくて、
『たまたま移動のルールが（定数項の無い）一次式になったから、一次変換と呼ぼう』
となったんじゃないかなと思います。

お礼

度々ご回答いただきまして、ありがとうございます。

一次変換の定義を関数っぽく書いていただいた部分は、テキストにも載っていました。最初に読んだときは、一次変換の定義を理解していなかったので、そんなもんかと思っていましたが、理解したあとみてみると、定数項なしでした。

でも、
『たまたま移動のルールが（定数項の無い）一次式になったから、一次変換と呼ぼう』
というルールで覚えることにします。

度々のご回答ありがとうございました。

回答No.7

masuda_takao

追加のご質問にお答えします。

> やはり一次変換のFは定数項が入ってはだめなのですね。
> 「一次式によって」変換される、というと、定数項が入っ
> ていても一次式というと思っていたのですが。。。
> ここだけが気になります。

　n を自然数とするとき、n 次式と単に言う場合には n 次の項の他に (n - 1)次以下の項も含む場合を考えますが、n 次同次式という場合には n 次の項のみを含みます（例えば、２変数 x, y の２次式としては x^2 +3・ y^2 + 2x + 3y + 5 等がありますが、x, y に関する２次同次式は x^2 + y^2, xy, (x + y)^2 など、x, y に関して２次の項のみから成るわけです）。

　xy 平面上の１次変換 f：(x, y)→(X, Y) を表す式は、２変数 x, y に関する１次同次式で表されます。通常はそういう定義です。

　これに定数項を含む場合を考えることも出来ますが、その場合：
X ＝ ax + by + e1, Y ＝ cx + dy + e2　...[1]
（a, b, c, d, e1, e2 は全て定数）
...には、これをアフィン変換と呼び、（座標軸の変更に平行移動を加えたものという意味で）通常は１次変換と区別しています。例えば、原点以外の定点の回りの回転移動は、アフィン変換の例です。

#尤も、人によっては定義に関する流儀の違いもあり、
#[1] 式のことを「１次変換」と呼ぶ人もいますけどね。

お礼

度々のご回答ありがとうございます。

後半はむつかしかったです。でも、参考になりました。
今回は一次変換に自分なりに理解ができてためになりました。ありがとうございます。

回答No.5

at06

一次変換は座標軸を傾ける（座標軸の単位ベクトルを変化させる）ことと考える事も出来ます。

普通の直交座標は、(1,0)(0,1)の二つの単位ベクトルからなっていますよね。
たとえば、(3,2)という座標は(1,0)の3倍と(0,1)の2倍の和になっています。

一次変換は行列を用いる事によってこの単位ベクトルを変化させています。
たとえば(1,0)を(1,1)にし、(0,1)を(1,2)に移す行列の場合、
(3,2)は(1,1)の3倍と(1,2)の2倍の和、つまり(5,7)に移ります。

原点を通る直線に関する対称移動では、(1,0)や(0,1)がそれに応じて対称移動するので確かに一次変換になっています。

お礼

ご回答ありがとうございます。
一次変換と一言で言ってもこのような考え方もあるのだといろいろな方法を知れてうれしいです。

＞たとえば(1,0)を(1,1)にし、(0,1)を(1,2)に移す行列の場合、
＞(3,2)は(1,1)の3倍と(1,2)の2倍の和、つまり(5,7)に移ります。
この場合のFは(1,1,1,2)となりましたので、確かに(5,7)になりました。
が、その上の文
＞一次変換は行列を用いる事によってこの単位ベクトルを変化させています。
がよくわからなかったので、なぜ？？という感じです。

もう少し考えてみたいと思いましたが、まずはお礼まで。貴重なアドバイスをいただきありがとうございました。

回答No.4

masuda_takao

そもそも「変換とは何か？」というところを起点にして、私見を述べたいと思います。

　変換とは、要するに点の座標を記述する変数の組み合わせを、別の変数の組み合わせに変更する手続きを言います。数学的にやや厳密に述べると、ある集合Ｘが与えられたとして、Ｘの元 p に対して、Ｘの元 q を対応させる手続き f を用いて q ＝ f(p) と記すとき、この f のことを変換と言います（a, b の属する集合が同じであることがポイントです）。皆さんの仰る「点を点に写す写像が変換である」という理解の仕方は、此処から導かれます。他方、「同じ点を違う変数で表現すると、違う見た目になる」という理解の仕方もあり、様々な場合で有用な見方です。

　その変数の組み合わせ同士の関係式が、特に一方の変数の１次同次式で他方の変数を記述する場合、これを１次変換と呼ぶわけです（高校の範囲では、Ｘとしては xy 平面（２次元空間）を主に考えますが）。

　式で書くと分かり易いでしょうか。

　点 (x, y) を (X, Y) に対応させる変換が１次変換の時、定数 a, b, c, d が存在して
X ＝ ax + by, Y ＝ cx + dy
...が成り立ちます。
　ある操作（例えば、ある直線に関する対称移動、原点の回りの回転移動、ある直線への正射影など）により、平面上の点を別の点に対応させる手続きが１次変換であることを示すには、この定数 a, b, c, d を見つけ出せばよいわけです。

　１次変換以外の変換としては、例えば、直交座標 (x, y) を極座標 (r, θ) に対応させる曲座標変換：
r ＝ √(x^2 + y^2), tanθ＝ y/x
...や、原点に対する反転：
(X, Y) ＝ 1/√(x^2 + y^2)・(x, y)
...などがあります。勿論、これら以外にも沢山あります。

お礼

御回答いただきましてありがとうございます。
おかげさまでなんとか一次変換の意味を理解することができ、イメージすることができるようになりました。

＞点 (x, y) を (X, Y) に対応させる変換が１次変換の時、定数 a, b, c, d が存在して
＞X ＝ ax + by, Y ＝ cx + dy
＞...が成り立ちます。
この式をみるとやはり一次変換のFは定数項が入ってはだめなのですね。「一次式によって」変換される、というと、定数項が入っていても一次式というと思っていたのですが。。。ここだけが気になります。

貴重なアドバイスをいただきありがとうございました。

回答No.3

R_Earl

> テキストをみると、一次変換とは、一次式によって平面上の点をうつしていく変換、とあります。が、この説明の意味が全く意味がわかりません。
> 点を移していくこと。が一次変換なら。問題文の中の「一次変換となる。」とはどういう状態になった、といいたいのでしょうか。

『点を移していくことが一次変換』という考えで大体良いと思います。
『あるルール』に従って、点の位置を変えていくようなものです。
例えばxy平面上の点(a,b)を、『あるルール』に従って場所を移したら(c,d)の場所に移動したとします。

(1)『あるルール』が
c = 3a
d = 5a - 2b
だったとしたら、(a,b) = (1,2)の場合、(c,d) = (3,1)になるので、
この『あるルール』を使えば、点(1,2)は点(3,1)に移動するということになります。

(2)『あるルール』が
c = a + b^2
d = 3ab
だったとしたら、(a,b) = (1,2)の場合、(c,d) = (5,6)になるので、
この『あるルール』を使えば、点(1,2)は点(5,6)に移動するということになります。

さて、(1)は一次変換なのですが、実は(2)は一次変換ではありません。
その理由は『一次』ではないからです。
質問者さんがテキストから引用した文には
『一次変換とは、一次式によって平面上の点をうつしていく変換』
とあります。この文章中の『一次式によって』が大事です。
(1)のルールには一次の式しか存在しませんが、
(2)のルールにあるa + b^2とabは二次式です。
なのでこれは一次式を使って点を移動させていないので一次変換にはなりません。

> 問題は、xy平面において、直線Y＝－２xに関する対称移動は一次変換となる。
> 問題文の中の「一次変換となる。」とはどういう状態になった、といいたいのでしょうか。

点を移すルールは二次式でも三次式でも作れます。
つまり例の(2)のように、一次変換でない点の移動のしかたもあります。
しかし直線y = -2xを軸にして対称移動する時のルールは一次式になるので、
そのルールを答えて下さい。
というのが出題者の意図だと思います。

ちなみに、この点を移していく一次変換は『色』に関するモノ、
例えばテレビとかに使われたりします。

お礼

御回答ありがとうございました。大変よくわかりました。特に二つの例を出していただいて、一つは一次変換、ひとつは一次変換でないということで、比較できて、すごくわかりやすかったです。人に聞いても、テキストの定義を繰り返されるばかりで、相手も自分がなにがわからないのかわからないという状況でした。にもかかわらず、私の質問の意図を汲み取っていただき、ありがとうございます。

一つ気になった点があるのですが、例の２で、b^2が一次式でないというのは理解できたのですが、abは一次式ではないのですか？例えばXY=1としたら、これも二次式ということでしょうか。

また、一次変換とは、「ルール」が一次式で表すことができることで、定数項が入ってはだめだ、ということですが、y=ax+bというと（bは定数項です。）これはxの一次式といったりすると思うのですが・・・。
abが一次式でない、という点と一次式だが定数項は入っていてはだめ、という二点が気になりました。
参考書を読み直してみたいと思います。

貴重なアドバイスを頂きまして、ありがとうございました。

回答No.2

F_P_E

はじめまして。

一次変換とはつまり次のようなものです；

列ベクトルx = (x1,…,xn)^t, y = (y1,…,yn)^tとn×n行列 A = (a_ij)の間に

y = Ax

なる関係があるとき、yはxの”一次変換”といったりします（^tは転置）。一般的にはこの変換は”線形変換”と呼ばれることの方がこれから多いかもしれません。大学の教養でまず間違いなくここらへんのことは学びます、線形代数学という講義名で＾＾

例えば、y1 = a*x1 + b*x2, y2 = c*x1 + d*x2なる関係があるとき、この一次変換（線形変換）を表す行列は

(y1) = (a*x1 + b*x2)
(y2) = (c*x1 + d*x2)

⇒

(y1) = (a b)(x1)
(y2) = (c d)(x2)

から、求める2×2行列は

(a b)
(c d)

です。一次変換の”一次”はy1 = a*x1 + b*x2等はx1,x2の”一次”式ですよね。このことからきています。

お礼

ご回答ありがとうございます。

少し難しくて前半は理解が及ばなかったです。
後半の例のところからはわかりました。
一次変換の一次は一次式のことですね。
よくわかりました。

貴重なアドバイスを頂きありがとうございました。

回答No.1

seta_takahiro

一次変換は
元の点を(x,y)として、移動後の点を(X,Y)とすると、
XもYも(x,y)の一次式(定数項なし)で表せる。
つまり
X=ax+by
Y=cx+dy
と書けるということです。
これが二次式だったりしたら、
それは一次変換とは言いません。

平行移動というのも良く使う変換だと思いますが、
これは、定数項が出てしまうので、
一次変換にはならないということです。

一次変換の大切な特徴は
(x1,y1) が （X1,Y1)に移り
(x2,y2) が （X2,y2）に移るとすると、
k(x1,y1) + l(x2,y2) は k(X1,Y1) + l(X2,Y2)
に移るという性質を満たし、
# 最初に足し算、掛け算をしてから変換すると、
# 変換してから足し算、掛け算をしたものになるということ

逆にこの条件を満たせば、最初の条件も満たすということです。
# なぜなら、
# (1,0)の移り先を(a,c)、(0,1)の移り先を(b,d) とすれば、
# (x,y) = x(1,0) + y(0,1) は最初の式の点に移る。

原点を通る直線に関する対称移動は、
絵を描いてみると、
単に紙を折り返す、鏡に移すだけであり、
元の世界でベクトルの足し算をしても
鏡の世界で足し算をしても結果は同じであって、
この特徴を満たすので、一次変換だと分かります。

お礼

御回答いただき、ありがとうございます。
これはずっとわからなかったのですが、解答をみて、やり方だけをマスターしていました。（理解もできないまま。）でも、今回質問させていただいて、みなさんの御回答を読ませていただいて、やっとわかりました。

AをBというものに変換したときのルールが一次式で表せる変換のことですね。理解できた今となっては、テキストの定義の意味がすんなり入ってきました。そのままでした。一次式によって、というところが重要なのですね。理解できて、本当に感動しました。

原点を通る直線に関する対称移動は必ず一次変換というのはテキストにも書いてあったのですが、これはいまいち理解できませんでした。御回答も読ませていただいてもなんだかまだ理解できません。再度考え直したいと思いますが、まずはお礼まで。貴重なアドバイスをありがとうございました。