物理問題： 固定点がないパイプを糸で転がす

質問

こんにちは、なかなかイメージをしにくい問題に当たりまして、是非詳しい方に検証して頂きたくこの質問を投稿しました。私なりの解釈というか理解の仕方をお示ししますが、それが正しいものかどうかとても悩んでおり、どうか宜しくお願い致します。ベクトル表記、相対加速度などテキストで表記し難い点がおおく見辛くなっているかもしれませんが、どうか宜しくお願い致します。見辛すぎる点などがありましたら修正しますゆえ、ご指摘頂ければと思います。

問題の内容は次の通りです。
添付の図をご覧下さい、糸（赤い線）が巻かれた輪があります。糸の左右のある点（C、D）の速度、加速度は与えられています。
問題では、この輪の角速度、角加速度、またB点の速度と加速度を求めよ、となっております。
ところが、まったく手につかず、始めから躓きました。といいますのも、固定点がないためにどれをどう扱ったらよいか悩んでおります。模範解答をみてみますと、

~Vb = ~Vc = -1.5~j …… (1)　~はベクトルの矢印の代わりに使いました。
~Va = ~Vd = - 1.8 m ~j ……(2)

としています。なるほど、たしかにC点の移動距離、とB点の移動距離は同じにならなければならないので、糸がスリップしないこと前提だと思いますが、(1、２)は成り立つと思います（もし私の理解の仕方が間違っておりましたらご指摘頂ければと思います。）。ただ、G点が固定点でないために、厳密に（？）、というか丁寧に考えてみました。G点からみたC、Bの速度を考えてみました。

~Vc = ~Vc/g　+ ~Vg
~Vb = ~Vb/g + ~Vg

ここで、~Vc/gと~Vb/gを考えます。
G点からみて、C点の移動距離Yc/g（単純に下方への移動）、とB点の移動距離rθ（G点周りの回転距離）は、糸が滑らなければ同じになるはずで、Yc/g = rθ
これを、時間で微分すると、Vc/g = rω
~Vb/gはG点からみたBの速度で、B点はG点周りを円運動するため速度はrωつまり、
Vb/g = rω、したがって、Vc/g = rω = Vb/g
よって、~Vc = ~Vb

いかがでしょうか。この解釈は、式(1)(2)を理解する方法として正しいでしょうか。

さらに模範解答では、次のことを述べております。
加速度について次の関係が成り立つ、

~Ab_t = ~Ac = -0.45 ~j .... (3)　　Ab_tはB点の加速度の接線成分
~Aa_t = ~Ad = 0.6 ~j .....(4)　　Aa_tはA点の加速度の接線成分

模範解答にこれ以上特別詳しい説明はありません。
この点が、理解できていないかと心配している点でありまして、アドバイス頂ければと思います。
なぜ、(3)式が成り立つのか、こう考えました。
やはり、Gを視点として考え、GからみたBとCの加速度を考えてみると、
Cが動く距離をYc/gとするとBが輪の上をGと中心として回転する距離に等しいので、
BのG周りの回転角度をθとすると、Yc/g = rθ（rは輪の半径で、0.6 m)
両辺を時間で二回微分して、Ac/g = rα
左辺のAc/gは、「G点からみたC点の加速度」でこれが「G点からみたB点の接線方向の加速度rα = Ab/g_t
となると考えています。つまり、
~ Ac/g = ~Ab/g_t …(6)
となると考えています。

また、G点の加速度は不明ですが、それを~Agとすると。
~Ac = ~Ac/g + ~Ag 　… (7) （シンプルなベクトルの足し算）

さらに、
~Ab = ~Ab/g + ~Ag … (8) （シンプルなベクトルの足し算）
ですが、BはG点からみると円運動をしているため、
~Ab/g = ~Ab/g_t + ~Ab/g_n …(9)　
なお、~Ab/g_tは点GからみたBの接線方向加速度、~Ab/g_nは点GからみたBの
半径方向加速度（向心加速度）を表します。したがって、(8)式は、次のようになる。
~Ab = ~Ab/g_t + ~Ab/g_n + ~Ag
(6)式より、
~Ab = ~Ac/g + ~Ab/g_n + ~Ag = ~Ac +~Ab/g_n (7)式より
~Ab/g_nは半径方向の加速度であるため、Bの加速度~Abの接線方向成分Ab_tは
確かに~Acだけである。以上より、(3)が証明された。

いかがでしょうか。もっとシンプルな証明の仕方があるのかもしれないのですが、私の理解ではこのようになりました。どうか検証頂き、修正すべき点など色々とご指摘頂けるととても幸いです。どうぞ宜しくお願い致します。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

糸ＢＣは伸び縮みしないから，単に
長さＢＣ＝一定
∴Ｂの速度＝Ｃの速度
∴Ｂの加速度＝Ｃの加速度
ということです。証明するほどのことではありません。

お礼

返答下さりありがとう御座います。輪が固定ではなく動いているために想像というかイメージしにくいために敢えてやってみました。固定されているとわかるのですが、全体が動いているためにやってみました。また、Bの全加速度ではなく、接線方向の成分だけがCの加速度で与えられるということが始め理解できず、式を立てていくうちに理解できるようになりました。不慣れなものですぐにこういったことが想像・思い付かないため、計算で確認したかったのであります（当たり前と片付けられることを数式で説明できるところが物理の面白いところだと思っております。）。実はまた今、他の問題、滑車と張力についてなのですが、根本的なところで疑問が生じてしまい、質問を投稿させていただこうと思っております。毎回、初歩的、当然的なところでふと疑問に感じてしまいyokkun831様に沢山アドバイスいただいております。次の質問でもアドバイス頂けますととても勉強になり助かります。どうぞ宜しくお願い致します。