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複数滑車の問題：どうすれば解ける？
- 物体Aの速度Va = 3t、時間t = 0のとき、物体A、物体Bの速度は同じ Va = Vbという条件で問題が与えられています。
- 問題は、i) 時間t = 5の際の、Vb、ii) 物体Bがもつ物体Aに対する相対加速度、iii) 時間t = 5の際の、物体Aと物体Bの距離です。
- Aには張力Tが一つ、Bには等しい張力Tが二つかかっていると思われます。Va = 3tなので、Aの加速度Aaは3 [m/sec^2]です。運動方程式を立てても解けない場合、Aの変位とBの変位に何らかの関係があるかを探す必要があります。また、Aが下降する際、Bは下降するかどうかも疑問です。
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滑車の壁からの距離と糸の長さを考えましょう。 右上の滑車の壁からの距離をd1, 左上の滑車の壁からの距離をd2, 左下の滑車の壁からの距離をd3, 右下の滑車の壁からの距離をd4, 物体Aの壁からの距離をd5 とします。 滑車の半径はここでは"0"としてしまいましょう。 糸の長さはLは L=d1+(d1-d2)+(d3-d2)+(d3-d4)+(d5-d4)=2*d1-2*d2+2*d3-2*d4+d5 となります。 ここで条件として L,d2,d4-d1の大きさは一定。 が加わります。 d4-d1=c とおくと、d1=d4-c となり、これをLの式に入れると L=2*(d4-c)-2*d2+2*d3-2*d4+d5 L+2*d2+2*c=2*d3+d5 左辺は時間によらず一定となります。 このことから、d5が1大きくなるとd3は1/2小さくなることが分かります。 また、物体Bは左下の滑車から一定距離離れているため、左下の滑車の上下動に連動して動くことになります。(もちろん、滑車と物体Bをつなぐ糸の張力が大きさを持っているときに限りますが) Aが下降すると(d5が大きくなると)、左下の滑車は上昇し(d3が減少する)、物体Bは上昇します。
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- rnakamra
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#3のものです。 お礼の欄にある質問者の回答について. i) Aの速度が3tですので、Bは 1.5*tで向きは上向き よって、t=5のとき、7.5 m/sec どの方向が正であるか定義されていないので向きはわからない。 ただ、この問題では速度の正負は間接的に定義されており、物体Aはt>0で正の速度を持っていることがわかる。もちろん、物体Bの速度の向きは物体Aと逆向きであるのでt>0において物体Bの速度は負である。 t=5の時、Vb=-7.5m/s ii)Aの加速度は3、Bは1.5、向きは互いに逆なので、相対化速度は4.5m/s^2 これも、物体Aに対する相対加速度なので -1.5m/s^2-3m/s^2=-4.5m/s^2 となる。 iii) 相対加速度が4.5であるため、距離 = 1/2at^2 であることから、56.25m t=0における2物体間の距離が記載されていませんが、仮にt=0で同じ高さにあるとすると上記の計算で問題ないでしょう。
お礼
お礼が遅れまして申し訳ありません。 解答いただきましてありがとう御座いました。
- ORUKA1951
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＞物体A、物体Bの速度は同じ Va = Vb これは正しいですか？ 速さはスカラー量で大きさしかありませんが、速度は方向を持つベクトル量です。 「物体A、物体Bの速度は同じ Va = Vb」ということは、ひとつの物体とみなせますが、そうなると停止していることになります。
お礼
t = 0 のときに速度が同じということでして、これはt=0のときにともに速度がゼロということを示しているだけと考えております。ありがとう御座います。
- yokkun831
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時間微分を「'」で表します。 図のように置きます。 y = x + z ∴z = y - x ∴z' = y' - x' …(i) 2x + y + 2z + w = 一定 ∴2x' + y' + 2z' + w' = 0 (i)を代入して ∴3y' + w' = 0 Va = y' + w' Vb = y' ∴2Vb + Va = 0 ∴Va = -2Vb ∴Aa = -2Ab これですべていけると思います。 t=0のとき，Va=Vb=0ですね。
お礼
いつもありがとう御座います。もやもやと悩んでいた頭がすっきり解消されました。物理や数学をやっていると本当にこういう体験が多いですね。こういった滑車の問題はイメージがつきにくく、頭の中で沢山の滑車を動かしています。解き方のコツとしては、各滑車の位置を適当な文字で示して、どれが一定であるかを見出す、ということでしょうか。他の問題が出ても対処できるようにしたく、何かアドバイス頂ければ幸いです。宜しくお願いします。 yokkun831様にはいつもお世話になっております。授業料をお支払いしたいくらいです。 「教えてgoo」などで募金や課金システムができないかと思ってしまいます。 言葉のお礼しかできず恐縮ですが、どうぞ今後とも宜しくお願い致します。
お礼
とても分かり易くご説明頂きありがとう御座います。頭がすっきりしました。 『d5が1大きくなるとd3は1/2小さくなることが分かります。』 これを導き出すプロセスをお教え頂きありがとう御座います。 すると、これは張力、質量云々に関する問題ではないということでしょうか？ 滑車の仕組み（Aが動くときにBはどれほど動くか）に問題の要素が集約されていますね。 『d5が1大きくなるとd3は1/2小さくなることが分かります。』が分かれば、他の答えはスイスイ出ますね。これは驚きです。模範解答がなく、確認していただけると助かります。 i) Aの速度が3tですので、Bは 1.5*tで向きは上向き よって、t=5のとき、7.5 m/sec ii)Aの加速度は3、Bは1.5、向きは互いに逆なので、相対化速度は4.5m/s^2 iii) 相対加速度が4.5であるため、距離 = 1/2at^2 であることから、56.25m 交通事故で鞭打ちの治療中とのことですが、そのような中でご解答頂きありがとう御座います。どうかお大事にお過ごし下さい。