ポアンカレ予想

質問

ペレリマンが証明した「ポアンカレ予想」に興味があるのですが、原典が読めずに苦労しています。辞書にも載っていない単語が頻出し、学校の外国人教師とともに悪戦苦闘している状態で、日本語訳の論文が見られるサイトを探しています。

よろしくお願い致します。

回答No.6

catbird

3次元閉多様体（3次元ユークリッド空間）の中にある全ての「ループ＝輪ゴム」を一点に収縮出来た時（＝「パイワンが消えた時」）、球体と同相と言えるかと、ポアンカレは問題を提起している。例えば、ドーナツ形では、輪ゴムはドーナツの穴に引っ掛り、一点に縮むことは出来ない。3次元多様体の分類をいきなり考えるのは難しい。そこで2次元多様体（端の無い一枚の面）の分類について考えてみる。以前私が示した様に、2次元閉多様体は、I～VIIIまでの8つの形に分類出来る。そして、その一枚の面の内面上にある「輪ゴム」をその面上で伸縮・交差・すり抜けさせ加工して、面に引っ掛からず一点に縮むのは、球面のみであることが分かった。この事実を、3次元閉多様体に応用してみよう。2次元閉多様体では「輪ゴム」は、内側の面上のみ移動出来る。3次元閉多様体では「輪ゴム」は、その表面を離れ空間の内側を自由に移動できる。その点が異なるのみである。表面の内面上にある「輪ゴム」の内、一つでも面に引っ掛り、一点に縮むことが出来ない時は、その3次元閉多様体を除外して良い。2次元閉多様体の内、以前私が示したドーナツ形・縦（ドーナツを横たえて置いた場合）内側に折り返せない線の出来るドーナツ形・縦外側に折り返せない線の出来るドーナツ形では、輪ゴムを面から離し内部の空間内を移動・伸縮・すり抜けさせて加工しても、輪ゴムの輪の中にドーナツの穴が存在する為、一点に収縮させることは出来ない。また、横内側に折り返せない線の出来るドーナツ形・横外側に折り返せない線の出来るドーナツ形・クラインの壺・縦（クラインの壺を横たえて置いた場合）に折り返せない線の出来るクラインの壺（内側と外側が連続する為、ドーナツ形の様に内側外側の区別はない）の形では、同様に空間内で加工しても、輪ゴムの輪の中に端の無い一枚の面が存在する（端が無いので輪から外すことが出来ない）為、一点に収縮させることは出来ない。即ち、「球体」以外では、面上で移動しようと、面を離れて内側の空間内を移動しようと、決して一点に収縮しない「輪ゴム」が存在することが分かる。3次元閉多様体の表面の形状が問題なのであり、内部の空間の構造には影響されない。3次元閉多様体の表面は、2次元閉多様体に完全に含まれる。従って輪ゴムが一点に収縮する3次元閉多様体は、球体のみであることが、証明出来る。

回答No.5

catbird

『地球からロープを付けロケットに乗り、宇宙を旅行し地球に帰った時、ロープの両端がある。そのロープの両端を離さないで、ロープを引き寄せられた時、この宇宙はおおむね丸いと言えるか。』という問題です。これは3次元閉多様体（3次元の縁の無い一枚の面）の中で、球体以外にロープの引っ掛らない形があるかと言う問題です。3次元閉多面体は、一つの輪を移動させ始めの位置に戻すことで作れます。輪には3つの形があります。○（丸形）・∞（無限大形）・◎（文字が無い為便宜上◎を使用する＝一筆書きで二重丸を書いた形）です。輪の動かし方は(1)輪が左右対称になる様な軸を取り、その軸を中心に回転させ元の輪の位置に戻す方法、（○の輪の場合球体。）(2)輪を外の点を中心として、一回転させ元の位置に戻す方法、（○の輪の場合、ドーナツ形。◎の輪の場合は、ドーナツの内側に穴に沿ってもう１つドーナツのある様な形。∞の輪の場合はドーナツの外側に穴に沿ってもう１つドーナツのある様な形。）(3)輪を輪の外の点を中心として、半回転させ、途中で引き返し、元の輪の位置に戻る方法、（○の輪の場合、ホースの口と口を同じ方向に向けて合わせた形＝クラインの壷になります）です。ただ途中の動かし方が(2)(3)には3種類あります。(2)は前記方法と、回転の途中で引き返しながら大きくし、進みながら小さくして元の位置に戻す方法（ドーナツの外側にもう１つのドーナツが縦の切り口に沿ってある様な形）、逆に途中で輪を引き返しながら小さくし、また戻りながら大きくして元の位置に戻す方法（ドーナツの内側に縦の切り口に沿ってもう１つのドーナツがある様な形）です。(3)は、移動の途中に(2)の場合と同じ動きを入れる方法です。クラインの壷の途中に（内も外も連続しており同じ）、縦の切り口に沿ってもう１つのドーナツがある様な形になります。以上8種類の形があります。

回答No.4

catbird

地球からロケットに乗り、そのロケットに長い長いロープを付けて、宇宙のありとあらゆる所を旅行する設定です。そして、旅行が終わり地球に辿り着いた時、手元にはロープの始まりと終わりの両端があります。そのロープの両端を持ったまま離さないで、ロープ全体を手元に引き寄せます。そして、ロープが全て手元に引き寄せられた時、この宇宙はおおむね丸いと言えるか、という問題でした。宇宙が仮にドーナッツ形であれば、ロープは穴に引っかかって引き寄せられません。トポロジーでは、形は自由に伸ばしたり縮めたり出来、その様に加工して同じ形になれば、同じ形と考えます。物には色々な形が有ります。ドーナッツ形も在れば、ドーナッツの途中に１つの結び目のある形などさまざまな形があります。そこで、この問題では、ロケットに付けたロープを長い円柱形と考えてみましょう。ドーナッツ形は、ロープ（＝円柱形）の両端をくっ付けた形です。ドーナッツの途中に１つの結び目のある形は、ロープで１つの結び目を作り、両端をくっ付けた形です。円柱形のロープをいろんな風にぐるぐると絡ませた上で、その両端をくっ付けることで、異なる形を作ることが出来ます。そのロープの絡ませ方で異なる形になり、その絡ませ方は無限です。しかし、ロープの両端をくっ付けない限り、そのロープは複雑に曲がりくねってはいますが円柱形であり、伸ばしたり縮めたりすれば、結局球体になります。ロープの両端をくっ付けて初めて、球体とは別の形になるのです。円柱のロープの中心に、一本の赤い紐があるとします。円柱のロープの両端をくっ付けてしまうと、途中でどの様にぐるぐるとロープを絡ませても、中心にある赤い紐の両端を離さずには、赤い紐全てを引き寄せることは出来ません。ロープの両端をくっ付けない時のみ（＝球体である時のみ）、赤い紐の両端を離さずに引っ張って、赤い紐全てを手元に引き寄せられます。ロープを宇宙に見立てると、その時宇宙（＝ロープ）はおおむね丸い（＝球体に加工できる）といえます。

回答No.3

zk43

ポアンカレ予想を解いた数学者という日本語訳の単行本は最近出版され
ましたよ。ご存じかもしれませんが。
ちらっと見たら良くわからなかったので買うのはやめましたけど。

お礼

回答ありがとうございます。

そうなんですか！？
早速調べてみますね。情報提供どうもです～

回答No.2

Aronse

>理解できる人は訳さなくても理解できるはず．
英語だったらそう言えるかも知れませんね。ロシア語ですから...

>恐らくはうわべだけを簡単に説明したものだと捉えています。
ポアンカレ予想自体有名な定理ですので、うわべだけで良いなら
一般向けに、「ポアンカレ予想はこうして解かれた！」みたいな
本が出版されるかもしれませんね。
数年くらいはかかるかもしれませんが。

お礼

回答、ありがとうございます。
そうなんですよね・・・ロシア語って、スパシーバくらいしか分かりませんし。ロシア史なら得意なんですが・・・
フェルマー関係の書籍は最近良く見かけます。
いつかポアンカレ予想も出るかな・・・出るといいな・・・
ともあれ、やはり未知の領域は面白いです。
ロシア語は中国語、スペイン語の次にでも学ぼうかと思い始めました。

貴重なお時間をありがとうございました。

回答No.1

kabaokaba

原典って？　ペレリマンの原論文？
これって数学的に超難解で
ものすごい分量の解説論文がでてるんじゃない？
その解説論文だって読むための予備知識が莫大なものなのは
容易に想像がつく・・・

>日本語訳の論文が見られるサイトを探しています。
そんなものはないでしょう．
原論文が読める人はわざわざ訳す必要はないです．
仮に日本語に訳したって，理解はおぼつかないというか
理解できる人は訳さなくても理解できるはず．

そもそもまだそんなに時間がたってないから，こなれて
一般人が理解できる数学の形におりてくることはないでしょう
＃フェルマーだってまだまだ降りてきてない・・・

補足

回答、ありがとうございます。
やはりないですか。
憶測で探さずにいるのもなんだな、と思った次第でして。
有料翻訳を検討してみることになりました。
これも怪しいので、あくまで検討ですが・・・

仰る通り、私がすらすらを原典を読めたとしても、直に理解する事は不可能でしょう。実際、トポロジー、ストリングスジーマンの定理、スメールの定理、フリードマンの定理程度しか存知ておりません。これは知り合いの専門家に教授賜ったもので、恐らくはうわべだけを簡単に説明したものだと捉えています。しかし、目的は、分からないからこそそれを調べ、知識を獲る事なのです。それには、一生を費やしても構いません。
・・・とはいえ、この質問はそれこそポアンカレ予想以上の無理難題だったようで。貴重なお時間を割いていただき、誠にありがとうございました。