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- catbird
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3次元閉多様体（3次元ユークリッド空間）の中にある全ての「ループ＝輪ゴム」を一点に収縮出来た時（＝「パイワンが消えた時」）、球体と同相と言えるかと、ポアンカレは問題を提起している。例えば、ドーナツ形では、輪ゴムはドーナツの穴に引っ掛り、一点に縮むことは出来ない。3次元多様体の分類をいきなり考えるのは難しい。そこで2次元多様体（端の無い一枚の面）の分類について考えてみる。以前私が示した様に、2次元閉多様体は、I～VIIIまでの8つの形に分類出来る。そして、その一枚の面の内面上にある「輪ゴム」をその面上で伸縮・交差・すり抜けさせ加工して、面に引っ掛からず一点に縮むのは、球面のみであることが分かった。この事実を、3次元閉多様体に応用してみよう。2次元閉多様体では「輪ゴム」は、内側の面上のみ移動出来る。3次元閉多様体では「輪ゴム」は、その表面を離れ空間の内側を自由に移動できる。その点が異なるのみである。表面の内面上にある「輪ゴム」の内、一つでも面に引っ掛り、一点に縮むことが出来ない時は、その3次元閉多様体を除外して良い。2次元閉多様体の内、以前私が示したII・V・VIの形では、輪ゴムを面から離し内部の空間内を移動・伸縮・すり抜けさせて加工しても、輪ゴムの輪の中にドーナツの穴が存在する為、一点に収縮させることは出来ない。また、III・IV・VII・VIIIの形では、同様に空間内で加工しても、輪ゴムの輪の中に端の無い一枚の面が存在する（端が無いので輪から外すことが出来ない）為、一点に収縮させることは出来ない。即ち、Iの「球」以外では、面上で移動しようと、面を離れて内側の空間内を移動しようと、決して一点に収縮しない「輪ゴム」が存在することが分かる。3次元閉多様体の表面の形状が問題なのであり、内部の空間の構造には影響されない。3次元閉多様体の表面は、2次元閉多様体に完全に含まれる。従って輪ゴムが一点に収縮する3次元閉多様体は、球体のみであることが、証明出来る。
- catbird
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ポアンカレ予想は『地球からロープを付けロケットに乗り、宇宙を旅行し地球に帰った時、ロープの両端がある。そのロープの両端を離さないで、ロープを引き寄せられた時、この宇宙はおおむね丸いと言えるか。』という問題です。これは3次元閉多様体（3次元の縁の無い一枚の面）の中で、球体以外にロープの引っ掛らない形があるかと言う問題です。3次元閉多面体は、一つの輪を移動させ始めの位置に戻すことで作れます。輪には3つの形があります。○（丸形）・∞（無限大形）・◎（文字が無い為便宜上◎を使用する＝一筆書きで二重丸を書いた形）です。輪の動かし方は(1)輪が左右対称になる様な軸を取り、その軸を中心に回転させ元の輪の位置に戻す方法、（○の輪の場合球体。）(2)輪を外の点を中心として、一回転させ元の位置に戻す方法、（○の輪の場合、ドーナツ形。◎の輪の場合は、ドーナツの内側に穴に沿ってもう１つドーナツのある様な形。∞の輪の場合はドーナツの外側に穴に沿ってもう１つドーナツのある様な形。）(3)輪を輪の外の点を中心として、半回転させ、途中で引き返し、元の輪の位置に戻る方法、（○の輪の場合、ホースの口と口を同じ方向に向けて合わせた形＝クラインの壷になります）です。ただ途中の動かし方が(2)(3)には3種類あります。(2)は前記方法と、回転の途中で引き返しながら大きくし、進みながら小さくして元の位置に戻す方法（ドーナツの外側にもう１つのドーナツが縦の切り口に沿ってある様な形）、逆に途中で輪を引き返しながら小さくし、また戻りながら大きくして元の位置に戻す方法（ドーナツの内側に縦の切り口に沿ってもう１つのドーナツがある様な形）です。(3)は、移動の途中に(2)の場合と同じ動きを入れる方法です。クラインの壷の途中に（内も外も連続しており同じ）、縦の切り口に沿ってもう１つのドーナツがある様な形になります。以上8種類の形があります。そして、ロープを回収できるのは球体のみです。
- catbird
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地球からロケットに乗り、そのロケットに長い長いロープを付けて、宇宙のありとあらゆる所を旅行する設定です。そして、旅行が終わり地球に辿り着いた時、手元にはロープの始まりと終わりの両端があります。そのロープの両端を持ったまま離さないで、ロープ全体を手元に引き寄せます。そして、ロープが全て手元に引き寄せられた時、この宇宙はおおむね丸いと言えるか、という問題でした。宇宙が仮にドーナッツ形であれば、ロープは穴に引っかかって引き寄せられません。トポロジーでは、形は自由に伸ばしたり縮めたり出来、その様に加工して同じ形になれば、同じ形と考えます。物には色々な形が有ります。ドーナッツ形も在れば、ドーナッツの途中に１つの結び目のある形などさまざまな形があります。そこで、この問題では、ロケットに付けたロープを長い円柱形と考えてみましょう。ドーナッツ形は、ロープ（＝円柱形）の両端をくっ付けた形です。ドーナッツの途中に１つの結び目のある形は、ロープで１つの結び目を作り、両端をくっ付けた形です。円柱形のロープをいろんな風にぐるぐると絡ませた上で、その両端をくっ付けることで、異なる形を作ることが出来ます。そのロープの絡ませ方で異なる形になり、その絡ませ方は無限です。しかし、ロープの両端をくっ付けない限り、そのロープは複雑に曲がりくねってはいますが円柱形であり、伸ばしたり縮めたりすれば、結局球体になります。ロープの両端をくっ付けて初めて、球体とは別の形になるのです。円柱のロープの中心に、一本の赤い紐があるとします。円柱のロープの両端をくっ付けてしまうと、途中でどの様にぐるぐるとロープを絡ませても、中心にある赤い紐の両端を離さずには、赤い紐全てを引き寄せることは出来ません。ロープの両端をくっ付けない時のみ（＝球体である時のみ）、赤い紐の両端を離さずに引っ張って、赤い紐全てを手元に引き寄せられます。おおむね丸いといえます。
- Fine-man
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●私は数学に縁遠い素人ですが、自然科学ファンです。 素人だから、普通の方に近い言葉で説明できるかも知れないと思って図解サイトを作りました。もしよかったら、見てやってください。 １次元：線分( x座標軸１本 ) ２次元：平面( 線分の世界の中にない直角なｙ方向に広がった世界 ) ３次元：立体空間( 平面の世界の中に無い直角な z 方向に広がった世界 ) ４次元：( 恐らくxyzの３本全てに直角な４本目の方向に広がった、想像不能の超立体 ) ●４次元空間の中での我々の３次元空間宇宙の立場を想像するのに、３次元空間の中での２次元平面の置かれた状況を当てはめているのだと思います。
- zk43
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この間テレビでやってましたね。私は録画してとってあります。 「単連結な３次元多様体は、３次元球面に同相といえるか？」 ということです。 数学的に正確に理解するのは難しいと思います。 まず、３次元多様体というのは、イメージ的に３次元の空間、つまり 縦・横・高さのある空間というように考えることにします。 次に単連結というのは、まず、全体としてひとつながりになっている、 つまり、その空間に勝手な２つの地点を選んだ時に、その空間内だけを 通って（ワープすることなく）その２地点間を移動することができる、 つまり、その２地点間を空間内の連続曲線で結ぶことができる、という ことで、さらに、その空間内に勝手にループ（閉曲線）を描く時、この ループをその空間内で連続的に変形して、１点に収縮させることができ る、ということです。 この状況をテレビでは、ロケットに縄を結びつけて飛ばせる、というよ うに表現していたのでしょう。 従って、ドーナツ型の空間を考えると、これは全体としてひとつながり になっていますが（数学用語では弧状連結という）、この空間内で連続 的に変形させても１点に収縮させることができないループが存在するの で、単連結とは言えません。このように、穴がある空間は単連結ではあ りません。 次に、３次元球面とは、４次元球体の表面ですが、これは簡単には、穴 のない３次元の空間の一番単純なものという程度に考えておきます。 ちなみに、２次元球面とは、ボールの表面と同じです。 次に、同相ということですが、これは２つの空間が同相であるとは、 互いに連続的に変形し合って、相手の形になることができる、というこ とで、例えば、ドーナツと取っての一つついたコーヒーカップは、連続 的な変形により相手にの形になり得るので、この２つは同相といえます。 しかし、ドーナツとボールを考えると、ボールを変形してドーナツ 型にするには、どうしても穴をあけて一か所切り離すという不連続な 操作が必要なので、この２つは同相ではありません。 同相というのは、位相幾何学（トポロジー）の用語ですが、要するに 連続的に変形し合えるものは同じと見る、という視点に基づいた幾何学 です。中学でやった合同幾何などは、平行移動・回転・折り返しによっ てぴったり合うものを同じとみなすというもので、相似幾何では、さら に拡大・縮小によってぴったり合うものを同じとみなすというもので す。 長々書きましたが、ひとつながりでどんなループも収縮可能な３次元 空間は、最も単純な３次元空間と同じものか？という感じです。
- koko_u_
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>数学なのになんで宇宙なんでしょうか 言葉の綾です。3次元多様体って言われてもわかる人が少ないからね。
お礼
数学は深いですね
ウィキペディア（Wikipedia）からの抜粋 分かりやすく説明すると、宇宙の中の任意のある一点から長いロープを結んだロケットが宇宙を一周して戻ってきて、ロープの両端を引っ張ってロープを全て回収できた場合、宇宙の形は概ね球体（＝ドーナツ型のような穴のある形、ではない）と言えるのか、という問題である。
お礼
ありがとうございます。 だけど、数学なのになんで宇宙なんでしょうか、それは天文学などの分野になるのでは・・・？
お礼
ありがとうございます。 「トポリジー」の概念がつかめたように思います!!