背理法の逆は成り立つか否か？

質問

1.仮定Ａが正しいとする。

↓

2.結論Ｂが数学的に矛盾している。

↓

3.仮定Ａが間違っている。

これが背理法ですが、その逆のパターン

1.仮定Ａが正しいとする。

↓

2.結論Ｂは数学的に正しい。

↓

3.仮定Ａは正しい。

これは数学的に成り立つのですか？

「大学入試で減点対象となるか否か」という観点から、皆様のお考えをお教え頂けるとありがたいです。

回答No.2

funoe · ベストアンサー

減点もなにも、このような論理展開で記述されている回答は０点です。

　仮定が真であろうと偽であろうと、真の結論は導けます。
　逆にいえば、「結論が真」から、「仮定の真偽」は示せません。

　「３は偶数」ならば「２は偶数」である。　　という命題の真偽はおわかりですか？

　教科書に書いてある通り、この命題は真です。

　結論が真であろうと、仮定が真であることを示すことはできません。

補足

やっぱりそうですよね。
実は昨日これについて塾の先生と揉めてしまい、「お前頭おかしいんじゃないのか」的なことを言われたのですが、やはり私の主張が正しかったのですね。
疑問が晴れてスッキリしました。
ありがとうございました。

回答No.3

snaporaz

私は背理法を「集合」で理解していました。厳密ではないのかもしれませんが、これで間違ったことはありません。

三つの集合X、Y、Zを考えます。Xの中にY、Yの中にZを描きます。
三重マルを描き、外からX、Y、Zとするということです。Xは全体集合です。

このとき、背理法というのは、「Yの中にZがある」ことを証明するために、Zが「XとYの隙間（Yの補集合）にはない」、つまり「Yの中にしか存在しえない」ことを証明するものです。

Zが「Yの補集合には存在しない」ことを示すために、「Yの補集合に存在すると仮定したら矛盾が生ずる」ということを示すのです。

あなたの質問は「仮定」の立て方と「逆」の概念において厳密性に欠けます。「逆」「裏」「対偶」を勉強し直したほうがいいでしょう。ここでは「Zである」は証明可能ではありません。「ZならばYである」が証明可能なのです。

で、あなたの質問の後半を意訳すると、「Yの中にZがあることを直接証明できますか」ということにほかなりません。

つまり、背理法を使わずに証明するということです。背理法という回りくどい方法を持ち込まなくても証明できる程度には単純な命題であったということです。それなら可能です。その筋道が正しければ、「○」です。

背理法は直接証明することが難しい場合に使う手法です。そこにあるのは「検証によると外にはあり得ないので、それはすなわち中にあることだ」という概念です。

回答No.1

japaneseda

「大学入試で減点対象となるか否か」という観点から、皆様のお考えをお教え頂けるとありがたいです。

このような問題は大学入試に出るとは思えません。

補足

これは個別具体的な問題に関する質問ではなく、“証明問題の論証過程”として適切か否かという意図です。

言葉足らずでしたら申し訳ありません。