数学、三角比について質問です。

質問

ｆ（ｘ）＝sin^2x＋2cosx＋1の最大値と最小値を求めよ。ただし0度≦ｘ≦180度。
答えは最大値3、最小値－1となるようです。

そこで質問ですが最小値の求め方、解説見ましたが理解できませんでした。特に0度≦ｘ≦180度の時、－1≦cosｘ≦1、－1≦ｔ≦1となるところ※（cosx＝ｔ）、最後にｔ＝－1をｆ（ｔ）の式に代入するところ。要は最小値の求め方がどうしてこのような流れになるのか全般的に理解不能です。
参考書を見ながら入力しているので意味不明な文になっていたらすみません。わかりやすい回答お待ちしてます！

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

f(x)=sin^2x+2cosx+1=1-cos^x+2cosx+1=-cos^2x+2cosx+2
ここでt=cosxとおく。ただし、0≦ｘ≦180°なので-1≦t≦1・・・※

f(x)=-t^2+2t+2
=-(t^2-2t)+2
=-{(t-1)^2-1}+2
=-(t-1)^2+3
これは頂点が(1,3)、上に凸の2次関数のグラフ。（図を描いてみてください）
今、-1≦ｔ≦1であるから、
最大値はｔ＝1のときf(1)=-1^2+2*1+2=3・・・答え
最小値はｔ＝-1のときf(-1)=-(-1)^2+2*(-1)+2=-1・・・答え

※の解説
詳しくは教科書をしっかり読んでください。
ここではイメージしやすいように簡単に説明します。
xの範囲が決まっています。
0≦ｘ≦180°
そのときのcosxの値はどのように動くか考えます。
x=0のときcos0°=1
x=30°のときcos30°=√3/2
x=60°のときcos60°=1/2
x=90°のときcos90°=0
x=120°のときcos120°=-1/2
x=150°のときcos150°=-√3/2
x=180°のときcos180°=-1
から、cosxの動く範囲は、
-1≦cosx≦1と推定できます。

それぞれのcosxの求め方は座標平面上で30°60°90°の直角三角形や45°45°90°の直角三角形を書き、辺の比は1:2:√3または1:1:√2であることから求められます。

cosxの定義や座標平面上でのcosxの求め方は参考書または教科書にのっています。基本ですのでそこをまずよく読んで理解してみてください。

補足
sinxとcosxのどちらかに統一できないかを考えます。
そこで大切な公式sin^2x+cos^2=1を使えば、f(x)をcosxの式にすることが出来ることに気がつきます。
式を整理し、t=cosxと置くことでｔの2次関数と見るこができます。範囲はxの範囲からcosxの範囲を求めてtの範囲とします。
よってこの問題はtに関する2次関数で定義域-1≦ｔ≦1の範囲における最大、最小を求める問題になるということです。あとは2次関数ですから、グラフを書いて、指定の範囲内での最大最小を考えればよいわけです。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.3

yyssaa

f(x)=sin^2x＋2cosx＋1=-cos^2x+2cosx+2
cosx=tとおくとf(t(x))=-t^2+2t+2=-(t-1)^2+3
cosθはθがどんな値であっても1と-1の間(1と-1を含む)
の値をとるので、この問題では0度≦x≦180度なので、
cos0度=1、cos180度=-1から-1≦cosx≦1、すなわち
-1≦t≦1となります。
そして-1≦t≦1のとき、f(t(x))=-(t-1)^2+3の値は
-1≦t≦1
-1-1≦t-1≦1-1
-2≦t-1≦0
4≧(t-1)^2≧0
-4≦-(t-1)^2≦0
-4+3≦-(t-1)^2+3≦0+3
-1≦-(t-1)^2+3≦3
よって
-1≦f(t(x))=f(x)≦3となります。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

asuncion

f(x)=sin^2x + 2cosx + 1
=1 － cos^2x + 2cosx + 1
=－cos^2x + 2cosx + 2

cosx = t とおくと、
f(x)=sin^2x + 2cosx + 1=－t^2 + 2t + 2
0°≦x≦180°（つまり、第1象限、第2象限での話）より、－1≦t≦1

この時点で、もとの三角関数に関する問題は、
tの変域が－1≦t≦1の場合におけるy=－t^2 + 2t + 2という放物線の
最大値と最小値を求める問題に帰着した。

y=－t^2 + 2t + 2
=－(t^2 － 2t + 1 － 1) + 2
=－(t － 1)^2 + 3
と平方完成できる。頂点の座標は(1, 3)
頂点のx座標である1は、tの変域の右端である。
よって、頂点のy座標である3が、－1≦t≦1における最大値である。
一方、y=－t^2 + 2t + 2のグラフの形状より、
最小値をとるtは－1であるから、このときのy座標である－(－1)^2－2+2=－1が
－1≦t≦1における最小値である。

y=－t^2 + 2t + 2
のグラフを描いて、－1≦t≦1の範囲だけに着目してみましょう。

お礼

回答ありがとうございました。