整数問題

質問

10×9×8×7=m!/n!
正の整数m,nの組を全て求めよ。

回答No.4

ereserve67 · ベストアンサー

10・9・8・7=2^4・3^2・5・7=7!に注意して，

m!=7!・n!

m≦nと仮定すると，n!≧m!よりn!≧7!・n!,1≧7!．これはあり得ません．よって

（☆）m>n⇔m=n+1,n+2,・・・・

となりますから，m!/n!=m(m-1)・・・(n+1)は連続するm-n個の整数の積で

m(m-1)・・・(n+1)=7!

すなわち

（★）(n+1)(n+2)・・・m=5040

となります．

ここでkを自然数とするとき

『連続するk個の整数の積はk!で割り切れる』

ことを思い出します．

m>n+7と仮定すると，★の左辺はm-n(>7)個の連続する整数の積だから(m-n)!で割り切れます．すると★の右辺7!が(m-n)!(m-n>7)で割り切れることになり矛盾します（7!/(m-n)!=1/{(m-n)・・・}は整数ではありません）．こうして☆とあわせて

m=n+1,n+2,n+3,n+4,n+5,n+6,n+7

となります．この場合について★をn,mが自然数の場合に解くと次のようになります．

(1)n+1=7!∴n=5039,m=n+1=5040
(2)(n+1)(n+2)=5040解なし
(3)(n+1)(n+2)(n+3)=5040：解なし
(4)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=5040=7・8・9・10：n=6,m=n+4=10
(5)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)=5040：解なし
(6)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)=5040=2・3・4・5・6・7：n=1,m=n+6=7
(7)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)(n+7)=5040：解なし

(m,n)=(7,1),(10,6),(5040,5039)（答）

回答No.5

無 鉄砲（@without-a-gun）

少々後付けっぽいのですが、以下のように体系的に考えることができます。
mとnの差が1　→　5040, 5039
mとnの差が2　→　5040の平方根は約71　→　5040 = 72 * 70　→　該当せず
mとnの差が3　→　5040の立方根は約17　→　5040 = 18 * 17.5 * 16　→　該当せず
mとnの差が4　→　5040の4乗根は約8.4　→　5040 = 10 * 9 * 8 * 7　→　該当　→　10, 6
mとnの差が5　→　5040の5乗根は約5.5　→　5040 = 8 * 7 * 6 * 5 * 4　→　該当せず
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5040 = 7 * 6 * 5 * 4 * 3　→　該当せず
mとnの差が6　→　5040の6乗根は約4　　→　5040 = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2　→　該当　→　7, 1
mとnの差が7　→　5040の7乗根は約3.4　→　もう無理

回答No.3

f272

No1です。
5040,5039は気が付かなかった。

回答No.2

無 鉄砲（@without-a-gun）

5040,5039

10,6

7,1

以上、3組です。

お礼

ありがとうございます。
どうやって、答えを出したのでしょうか?
これ以外の答えは存在しないという導き方でしょうか?

回答No.1

f272

10*9*8*7には素因数として11が含まれておらず、7が含まれているから、
mは10以下で、nは６以下であると結論できる。
あとはどんなやり方でも、すぐに答えは見つかるだろう。

10*9*8*7=(5*2)*(3*3)*(4*2)*7=7*6*5*4*3*2

お礼

ありがとうございます。
ケチをつける気はありませんが、数学的にきっちりと答えを出したいのですが、
方法はありますか?
mは10以下と決めると、5040と5039の組が該当しなくなります。