数学 円上を動く点のなす角

質問

わからない問題があるので、解き方を教えてください。

座標平面上に、原点Oを中心とする
半径2の円を、正の向きに等速で
回転する点Pがある。
Pは時刻t=0に(√2.√2)を出発し、
一秒間に動く弧の長さは2である。

出発してからt秒後に、
半径OPがx軸正の方向となす角を
弧度法で表したものをf(t)とする。
0≦t≦2、0≦f(t)<πとする。

問題は、
1.f(t)をtの式にするとどうなるか。
2.Pが初めにy軸と交わるのは
出発してから何秒後か。
3.三角形AOPの面積が初めに√3になるのは出発してから何秒後か。

答えはそれぞれ、
1...t+π/4
2...π/4
3...π/3 です。

とりあえず、f(0)=π/4ということはわかります。
でもそれから何をすればいいのかわかりません。
回答よろしくお願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

>三角形AOPの面積が初めに√3になるのは出発してから何秒後か。
頂点Aの定義が書かれていませんが、出発点A(√2.√2)のことですか？

そうであるとして以後回答します。

1.
>f(t)をtの式にするとどうなるか。

>Pは時刻t=0に(√2.√2)を出発し、一秒間に動く弧の長さは2である。
>出発してからt秒後に、半径OPがx軸正の方向となす角を弧度法で表したものをf(t)とする。

とあるので、∠AOPは出発点Aからt秒後まで点Pまで動いた点P軌跡である円弧の長さLは
t×(移動速度)=t×2=2t
動いた距離（円弧の長さ）に対する中心角θ=(円弧の長さ)/(半径)=2r/2=t [rad]
これにOAのなす角=π/4 [rad] を加えれば　f(t) が得られるから
f(t)=t+(π/4) [rad] ... (答)

2.
>Pが初めにy軸と交わるのは出発してから何秒後か。

P点の偏角がπ/2 [rad]になる時間だから
t+(π/4)=π/2 ∴t=π/4 ... (答)

3.
>三角形AOPの面積が初めに√3になるのは出発してから何秒後か。
三角形AOPの面積S=（底辺)・(高さ)/２＝OA・OPsinθ/2＝2×2×sin(2t/2)/2=2sin(t)=√3
sin(t)=√3/2 ∴t=π/3 [秒後]　... (答)

となります。

お礼

ごめんなさい。
Aの定義を書き忘れていました。

解説、とてもわかりやすかったです！
どうもありがとうございました！