微分積分 関数の連続性

質問

|x|は(∞,－∞)で連続であることを示せ。という問題があって
その答えが
３角不等式より|x|=|x-a+a|≦|x-a|+|a|,|a|=|a-x+x|≦|x-a|+|x|.したがって、||x|-|a||≦|x-a|.ゆえに、x→aのとき|x|→|a|となり、|x|は任意の点x=aで連続である。
と書かれているんですが、３角不等式の意味となぜこれで連続だと示すことができるのかが分かりません、お願いします。

回答No.1

tksmsysh

まず、「関数の連続性」の定義を確認すると、
「一変数関数f(x)がある点aで連続であるとは、xがaに限りなく近づくならば、f(x)がf(a)に限りなく近づく」こと、すなわち、
「lim[x→a]{f(x)}=f(a)が成り立つ」ことです。

ゆえに、「|x|が(-∞,∞)で連続であることを示す」には、定義にあてはめて考えると、f(x)=|x|として、
「lim[x→a]|x|=|a|が成り立つことを示せ」ば良いことになります。

では、具体的にどうすればよいかと言うと、ここは常套手段「はさみうちの原理」を用います。そのために三角不等式を持ち出します。

|x|=|x-a+a|≦|x-a|+|a|は、aの正負を考えれば当たり前。
|a|=|a-x+x|≦|x-a|+|x|は、xの正負を考えれば当たり前。
したがって、|x|-|a||≦|x-a|です。(もっとも、いきなりこの式を出しても十分だと私は考えますが…)
|x|-|a||≦|x-a|の左辺は絶対値ですから、必ず、
0≦|x|-|a||≦|x-a|ですね。
lim[x→a]|x-a|=0ですから、はさみうちの原理より、
lim[x→a]||x|-|a||=0
⇔lim[x→a]|x|=|a|　　　(証明終了)

この証明から明らかなように、f(x)が連続関数の時、|f(x)|も連続関数です。

お礼

どうもありがとうございました。

大変参考になりました。