水の中のものの質量

質問

長さl、断面積Sの木を密度ρの水に浮かべたら、hの深さで静止した
そして少し押して離すと振動を始めた
水の抵抗はないものとする
振動周期を求めよ

T=2π√(m/Ｋ)のmとＫがわかりません
教えてください！

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

>T=2π√(m/Ｋ)のmとＫがわかりません

ｍは、単振動する物体の質量（本問では、木片の質量）
ｋは、物体に働く力（合力）が　Ｆ＝－ｋ・ｘ　と書ける"復元力"であるとき、式中の比例定数
ｋのことだということは大丈夫でしょうか？

まずは木片の質量ｍを求めましょう。

>長さl、断面積Sの木を密度ρの水に浮かべたら、hの深さで静止した

これは、木片をｈの深さだけ水中に沈めたとき、木片の重力と、木片が水から受ける浮力とが釣り合っていたということを意味しています。
アルキメデスの原理から、浮力は「"水中に没している、物体の体積"と同体積の水の重さに等しい」です。
　水中に没している、物体の体積＝Ｓ・ｈ
　これと同体積の水の質量（＝体積・密度）＝Ｓ・ｈ・ρ
　この水の重さ（＝重力の大きさ＝質量・重力加速度）
　　＝Ｓ・ｈ・ρ・ｇ＝浮力
一方、木片の質量をｍとすると、
　その重さ（＝重力の大きさ）＝ｍ・ｇ
釣り合いの条件は
　ｍ・ｇ＝Ｓ・ｈ・ρ・ｇ
∴　ｍ＝…

釣り合いの状態から、更に水中の長さがｘだけ増えるように木片を沈めると、
浮力＝Ｓ・（ｈ＋ｘ）・ρ・ｇ
木片の重さ（これは上と変わらず）ｍｇ＝Ｓ・ｈ・ρ・ｇ
∴差し引き
　Ｓ・（ｈ＋ｘ）・ρ・ｇ－Ｓ・ｈ・ρ・ｇ
　＝Ｓ・ρ・ｇ・ｘ
だけ上向きの力が生じます。

釣り合いの位置から木片の位置が鉛直方向にｘだけ変位しているとき、鉛直下向きを正に取って、木片に加わる合力を求めると
　木片に加わる合力（Ｆ）＝－Ｓ・ρ・ｇ・ｘ
ここで
　Ｓ・ρ・ｇ＝ｋ
とおくと
　Ｆ＝－ｋ・ｘ
と書け、変位ｘに比例した大きさで、ｘとは逆向きの力Ｆが働くことがわかります。このような力は、復元力ですから、木片は単振動します。

補足

よくわかりました
ありがとうございました！

ついでで申し訳ないのですが、木の密度ρ1を求める方法も教えていただけませんか？

回答No.2

Quarks

>木の密度ρ1を求める方法

？？　はて？　なぜ求められないのでしょうか？

水であろうと木片であろうと、
　質量＝体積・密度
が成り立ちます。この式を変形すれば
　密度＝質量/体積
　体積＝質量/密度
などの関係式も成り立つことがわかるはずです。
密度を知りたかったら、質量と体積を調べれば良いのです。

ANo.1で、木片の質量ｍは求まっています。
木片の体積は？　
　断面積・長さ
ですよ。

質量と体積がわかっているのですから、
　木片の密度＝木片の質量/木片の体積＝…

お礼

こんなこともわからなくてすみません
ありがとうございました！