数学、2進法の計算方法について

質問

すみません、学校の宿題が全く解けないので、解き方と答えをわかる方、教えてくれませんか？

(1)4進法で１２１である数を、（１２１）5であらわすとき、この数を2進法で示せ。

回答No.2

noname#175206 · ベストアンサー

4進数で121である数を10進数に直すとすれば、

　1×4^2＋2×4^1＋1×4^0＝25

ですね。10進数では25になります。

　これは10進数での表記では各桁を10の何乗（桁数－1乗）で表した足し算なのと同じです（たとえば25＝2×10^1＋5×10^0）。

　これを2進数に直すには、まず2の何乗で割れるかなんですが、2^4＝16で割れて、余りが9。9は2^3＝8で割れて、余りが1。1は2^2＝4でも2^1＝2でも割れなくて、あえて言えば2^0＝1で割れて、答が1です。

　従って、25＝1×2^4＋1×2^3＋0×2^2＋0×2^1＋1×2^0と表せ、2進数では11001となります。

　これを筆算で簡単にやるには以下のようにします。

2)25　　　（←筆算の割り算を逆さまに描いています）
￣￣
　12　余り1
2)12
￣￣
　6　余り0
2)6
￣￣
　3　余り0
2)3
￣￣
　1　余り1

　これで最後の答と、そこまでの余りを逆順に書きだして11001です。

　何進数が来ても、基本はこれで計算できます。計算して10進数に直して、また2進数に直す計算で面倒ですが、何進数でもできて、筆算も使えますので、確実です。

　2で割るのを4で割るようにすれば、10進数の25が4進数で121になることが出ます。一応やっておきます。

4)25　　　（←2を4に変えます）
￣￣
　6　余り1
4)6
￣￣
　1　余り2

　逆順に書きだして121です。検算してOKのようです。

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　ところで、4＝2^2です。こういう関係が成り立つと、別の方法もあります。

　(121)4＝1×4^2＋2×4^1＋1×4^0
＝1×2^4＋0×2^3＋2×2^2＋0×2^1＋1×2^0　←1以上の掛け算をもうちょっと整理
＝1×2^4＋1×2^3＋0×2^2＋0×2^1＋1×2^0
＝(11001)2

　もしかすると、10進数との間の筆算の方法もあるかもしれませんが、何せ九九は10進数で覚えていますので、あまり実用的ではないかもしれません。

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P.S.（余談）

　コンピュータは2進数で計算していますが、人間がそのデータを見たりするときは16進数を使います。これは16＝2^4という関係があるため、非常に相性が良いです。

　自然数なら10進数に直したほうが見やすいのですが、2進数の割り算などで有限桁の小数点以下が出たりすると、16進数では全く誤差なく表せますが、10進数ですと循環小数になってしまい、有限桁で打ち切って誤差が出ることがよくあります。

　1円の間違いも許されない経理用の実務プログラムなどでは、10進数で計算するか、2進数と10進数の間の誤差を考慮して補正したりしているようです。塵も積もれば山となるわけですので。

お礼

とても分かりやすいです！！
助かります！！

ありがとうございました！！

回答No.1

bgm38489

＞＞4進法で１２１である数を、（１２１）5であらわすとき、
（１２１）4でしょ？何進法かは右下に小さい文字で表します。かけませんがね。
４進法の場合、百の位（？）は、４＾２＝１６が何個あるかを表します。十進法で百の位は、１０＾２＝１００が何個あるのかを表すのと同様。つまり、この数の場合、十進法に直せば、（４＾２）＊１＋（４＾１）＊２＋１となるのです。それをまた、２進法に直す…これが本道ですが、実はこの場合、もっと簡単な手がある。
４進法の１００は２進法では１００００。４進法の２０は２進法の２００…じゃなｊかった、１０００。４進法の１は２進法でも1。すなわち、（１１００１）2。
４＝２＾２だから、こんな簡単にできるわけです。

お礼

なるほど・・・、久しく数学を行っていなかったので、とても勉強になります。

ちょっと復習してみようと思います。
ありがとうございました！！