arcsinxの積分は？

質問

タイトルのとおり、arcsinx　の積分を求めたいのですが、どうすればいいか分かりません。
部分積分を使って解こうとしたのですが、うまくいきませんでした。
どなたか教えていただけませんか？
よろしくお願いします。

回答No.2

HOGERA3 · ベストアンサー

∫x'arcsinx dx
＝ x・arcsinx - ∫x(arcsinx)'dx

f(x)の逆関数の微分は f(x) = y とおくと 1/f'(y) になります。

arcsinx = y とおくと、
(arcsinx)' = 1/(siny)' = 1/cosy

また、x = siny より dx = cosy dy

よって、
　∫x(arcsinx)'dx
＝ ∫siny・1/cosy・cosy dy
＝ ∫siny dy
＝ -cosy
＝ -√(1-(siny)^2)
＝ -√(1-x^2)

したがって、
∫arcsinx dx = x・arcsinx + √(1-x^2)

お礼

とても分かりやすく、ためになりました。
ありがとうございました。

回答No.3

siegmund

HOGERA3 さんのご回答がありますので，蛇足です．

http://integrals.wolfram.com/index.ja.cgi
で，被積分関数のところに ArcSin[x] と入れると積分をやってくれて，ちゃんと
√(1-x^2) + x ArcSin[x]
と出てきます．
やり方までは教えてくれませんが．
世の中便利になりましたね～．

参考URL：

http://integrals.wolfram.com/index.ja.cgi

お礼

回答いただき、ありがとうございました。
本当、便利になりましたね。

回答No.1

HOGERA3

部分積分を使って解く問題だと思うのですが。

∫(x)'arcsinx dx

とみなして解くと、

x・arcsinx + √(1-x^2)

が得られると思います。