積分でのアドバイスお願いします

質問

積分で置換積分と部分積分の公式はどのように使え分けたらいいのですが？？？
問題にたいして置換積分も部分積分どっちの公式を使って解けばいいか悩んで時間がすぎてしまいます。一瞬で見分ける方法を教えてください、

回答No.1

Kules · ベストアンサー

そんなもんあったら私が教えて欲しいぐらいです(笑)

そうですね、あくまでも私の個人的な方法ですが
(0)積分する前にもうちょっと簡単な形にできないか考える→(1)単純な置換積分や部分積分で解けないか一瞬考える→(2)部分積分でどこかの次数が落ちて楽にならないか考える→(3)部分積分を２回したら元の形に戻るタイプかどうか考える→(4)じっくり腰を据えてどこか置換できるところがないか考える
といったところでしょうか。慣れてきたら(1)～(4)まで３秒かかりません。

(0)は要するに共通因数でくくるとか、因数分解するとか、そういった作業です。
(1)は単純に知ってるかどうかです。自分が解いたことがあるかどうか、その解法を知っているかどうかの判断です。ここで「え～っとこれは解いたことあるような気がするんだけどどっちだっけな？」とか言ってるようじゃ先は長いです。「自分はこの問題は解いたことはない！よってありがちな公式にあてはめて解くことはできないはずだ！」と言えるぐらいの演習はしましょう。
(2)基本的な関数たちには、微分すると形が変わるもの、変わらないもの、何回かしてるうちに元に戻るものがあります。
形が変わるものは整関数（x^rの形のもの）や対数関数、分数関数など。変わらないものは指数関数など。何回かしているうちに元に戻るのは三角関数（sin,cos）などがあります。
例えば（整関数）×（指数関数）のようになっているものは、何回も部分積分をすればそのうち整関数の部分がなくなるのでいずれ解けます。
(3)指数関数や三角関数の積の形になっているやつは、何回も部分積分をしていると、どこかで元の形（に近い形）のものが出てくることがあります。そこで最初の形をIとでもおけば、同じものが出てきた時点でその等式をIについて解いてやればよいです。
(4)ここまで来たらばなかなかしんどいですが、これまで自分が解いたことのある問題の中でちょっとでも似ているものがないかどうか、などを考えながら特定します。じーっと眺めてるだけで解けることはありませんので、とにかく手を動かすしかありません。

こんな感じですかね？
部分積分と置換積分の使い分けを一瞬で見抜く方法を「公式」として覚えるというのであれば、止めはしませんがオススメはしません（覚えなければならないものが多すぎます）

一瞬で見分けるためには、それ相応の演習を重ねる方がよっぽど近道です（ただ漫然と解いていたらおそらくいつまでたっても身につきません。解説を読んで、「なぜこの問題は部分積分で解いているのだろう」→「そうしたら解けるから」の図式しか自分の中に出来ないとすれば、先はかなり長いです。「なぜ～」→「このタイプの問題は部分積分」→「○○という条件があれば部分積分」といった形で、より情報を一般化させて覚えていくとよいです。私の場合の○○が、上に書いた(0)～(3)にあたります）

参考になれば幸いです。