2次元多様体

質問

S2(Sの2乗)＝{(x,y,z)∈R3(Rの3乗)｜x2(xの2乗)+y2(yの2乗)+Z2(zの2乗)=1}とトーラスが2次元多様体であることを示したいのですが、ずっと考えても示せません。教えてください。お願いします。

回答No.1

grothendieck

多様体の定義にあてはまることを示せば良いでしょう。例としてS^1={(x,y)∈R^2｜x^2+y^2=1}が一次元多様体であることを示します。
　U1 = {(x,y)∈S^1｜x>0}
　U2 = {(x,y)∈S^1｜x<0}
　V1 = {(x,y)∈S^1｜y>0}
　V2 = {(x,y)∈S^1｜y<0}
とします。U1からRの区間(-1,1)の上への写像φを
　φ：(x,y) → y
で定義すると、U1はRの開集合と一対一に対応させることができることが分かります。同様にU2、V1、V2もRの開集合と一対一に対応し、S^1=U1∪U2∪V1∪V2だからS^1は一次元多様体となります。S^2やトーラスも全く同じ様にできます。