トーラスについてです。

質問

２次元トーラスＴ２の次元って３次元ですか？
Ｔ２＝Ｓ１×Ｓ１で表されるので、ここからみると、トーラスが４次元（２+２次元）のように思えます。

しかし、２次元トーラスは
（（Ｒ+ｒcosx）cosy, (R+rcosx）siny, rsinx)で表せるので、３次元ですよね？

つまり、Ｔ２＝Ｓ１×Ｓ１と考えたことに誤りがあったのでしょうか？
しかし、図を考えると、Ｔ２＝Ｓ１×Ｓ１と表せることに矛盾はないように思えます。

Ｍ×Ｎの次元がdimM+dimNと考えたことに誤りがあったのでしょうか？

Ｔ２はＳ１×Ｓ１→Ｒ３の像として考えれば、３次元になると思います。

ちなみに、２次元トーラスの２次元とは、局所的にみたら、２次元のように思えるから２次元といっていると解釈しても大丈夫でしょうか？

支離滅裂な文章ですみません。

どなたか教えていただけませんか？

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

２次元トーラスＴ２は「２次元」です。
円環Ｓ１は１次元ですから、
Ｔ２＝Ｓ１×Ｓ１ は ２＝１＋１次元 と説明できます。
Ｔ２を３次元空間に埋め込むのは、埋め込んだ人の勝手な都合で、
Ｔ２そのものとは関係ない話です。そんなことを言うのなら、
((R+r cosx)cosy, (R+r cos x)siny, rsinx, 0,0,0,0) で表せるから
７次元…と考えることもできるはずです。
埋め込んだ先の空間でＴ２の次元が左右されることはないんです。
＞ 局所的にみたら、２次元のように思えるから２次元
が正解だと思います。極シンプルな話でしょう？

お礼

ありがとうございます。

納得できました^\^