回転体の体積

質問

３次元空間内の回転体、

　Ｕ（Ｒ）＝｛（x,y,z）；　ｘ＾２＋ｙ＾２≦Ｒ＾２　、　０≦ｚ≦e＾（－ｘ＾２－ｙ＾２）｝

の体積u(R)を求めたいのですが、この場合領域が円上となっているので、そのままＤ（＝｛（ｘ、ｙ）；ｘ＾２＋ｙ＾２≦Ｒ＾２｝）上の重責分で、

　　u(R)=∬e＾（－ｘ＾２－ｙ＾２）　dxdy

という上記の重積分を計算すればよいのでしょうか？
また、計算結果は、ヤコビアンＪ（ｒ，θ）＝ｒとすると、

　 u(R)=∬re＾（-R^2） drdθ
=π(R^2)*e＾（-R^2)

となると思いますが、この考え方で大丈夫なのでしょうか？
どなたか、アドバイスをいただけないでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.2

info22

#1です。
A#1で積分の最後の行にミスがあったので訂正します。

>u(R)=∫[-π,π] dθ∫[0,R]　re^(-r^2)dr
>=2π[-e^(-r^2)/2] [0,R]
>=π[1-e^{-(1/2)R^2}]　×
=π[1-e^{-R^2}]

A#1の補足質問の回答
>積分範囲でD':{(r,θ)|0≦r≦R,-π＜θ≦π}
>となっているのはなぜですか？
Dの領域とD'の領域が１：１に写像できていればいいのであって、
θの範囲は2πの範囲を重複無くカバーしていれば問題ありません。
>0＜θ≦2πではいけないのでしょうか？
でも構いません。

しかし積分では、奇関数や偶関数の積分のような場合は、
積分範囲をθ=0に対して正負対称に設定すると、偶関数や奇関数の
積分の簡単化の性質が使えるので、一般的には
0＜θ≦2πとするより
-π＜θ≦πとした方が
いい場合があります（本質問では特にどちらの範囲でも差はありませんが…）。
本質的にはどちらの範囲の取り方でも間違いではありません。
各人の好みの問題でもあります。

お礼

偶関数や奇関数の性質は知っていましたが、Dの領域とD'の領域が１：１に写像できていればいいというのは初耳でした。なるほどです。大変勉強になりました。ありがとうございました。

回答No.1

info22

式中の英数字や符号等は半角文字を使ってください。
>Ｄ（＝｛（ｘ、ｙ）；ｘ＾２＋ｙ＾２≦Ｒ＾２｝）上の重責分で、
> u(R)=∬e＾（－ｘ＾２－ｙ＾２）　dxdy
これば合っています。

>　 u(R)=∬re＾（-R^2） drdθ
>=π(R^2)*e＾（-R^2)
>となると思いますが、この考え方で大丈夫なのでしょうか？
間違っています。
正しくは
u(R)=∬_D're＾（-r^2） drdθ
D':{(r,θ)|0≦r≦R,-π＜θ≦π}
です。

変数分離して
u(R)=∫[-π,π] dθ∫[0,R]　re^(-r^2)dr
=2π[-e^(-r^2)/2] [0,R]
=π[1-e^{-(1/2)R^2}]
となります。

お礼

ご返答ありがとうございます。
的確なアドバイスで、大変助かりました。
ひとつ質問があるのですが、積分範囲でD':{(r,θ)|0≦r≦R,-π＜θ≦π}
となっているのはなぜですか？0＜θ≦2πではいけないのでしょうか？