フーリエ級数の解き方がわかりません。

質問

フーリエ級数の問題です。
この問題を教えてください。途中計算もよろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

丸投げと丸写しは本人の為になりません。
フーリエ級数の所を教科書で復習し直される事をお勧めします。

一応、回答しておくと
周期T=2πとして
a0=(2/T)∫[-π,π] |sin(x)|dx
=(2/(2π))*2∫[0,π] sin(x)dx
=4/π
an=(2/T)∫[-π,π] |sin(x)|cos(nx)dx
=(2/(2π))*2∫[0,π] sin(x)cos(nx)dx
=(2/π)∫[0,π] sin(x)cos(nx)dx
n=1のとき
a1=(2/π)∫[0,π] sin(x)cos(x)dx=(1/π)∫[0,π] sin(2x)dx=0

n≧2のとき
an=(1/π)∫[0,π] sin((n-1)x)-sin((n+1)x)dt
=(1/π)[-{cos((n-1)x)/(n-1)}+{cos((n+1)x)/(n+1)}][0,π]
=(1/π){(1-cos((n-1)π))/(n-1)-(1-cos((n+1)π))/(n+1)}
=(1/π){(1+cos(nπ))/(n-1)-(1+cos(nπ))/(n+1)}
=(1/π){(1+(-1)^nπ)/(n-1)-(1+(-1)^n)/(n+1)}
=(1/π)(1+(-1)^nπ)){1/(n-1)-1/(n+1)}
=(1/π)(1+(-1)^nπ))*2/(n^2-1)
=(2/π)(1+(-1)^nπ))/(n^2-1)

n=奇数(≧1)のとき an=0
n=偶数(≧2)のとき　an=4/{π(n^2-1)}

|sin(x)|は偶関数なので
bn=0 (n=整数(≧1))

f(x)=(2/π)+(4/π)Σ[m=1,∞]{1/(4m^2-1)}cos(2mx)

回答No.1

info22_

a0,an,bnの公式を計算するだけですが何がわからないのでしょうか？
|sinx|は偶関数ですから bn=0です。
anの計算は被積分関数が
　sinxsin(nx)
になるのでsinAsinBの積和公式を使ってcosの差に直せば簡単に積分できます。

まず、やってみて下さい。

分からなければ、途中計算を補足に書いて、その続きのどこが分からないか訊いて下さい。