振動学の問題です。

質問

２つの負の実数根λ1<λ2<0を持つ過減衰系に正の初期変位X0と初期速度V0を与えたとき、静的平衡点x=0を行き過ぎない初期速度の範囲を求めなさい。という問題の解き方がわかりません。

いろいろ調べてみたのですが、過減衰系の場合には行き過ぎは起きないとしか書いてないので困っています。ものすごく大きな初期速度を与えれば、過減衰系においても行き過ぎが起こるという点についてはイメージできるのですが、その条件の求め方がわかりません。わかる方がいらっしゃったらよろしくお願いします。

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

こんな問題は解いたことがないので、答えがあってるかどうかは確認できませんが・・・・

λ1、λ2をλ1=-a+b, λ2=-a-b (a>b>0) と置くことにして、解

x(t) = A e^[-(a-b) t] + B e^[-(a+b) t]

の係数A,Bをx(0) = x0, v(0)=v0から求めて代入すると

x(t) = [(a+b) x0 + v0]/2b e^[-(a-b) t] - [(a-b) x0 + v0]/2b e^[-(a+b) t]
　　= ( e^[-at]/2b ) [ {(a+b) x0 + v0} e^[b t] - {(a-b) x0 + v0} e^[-b t] ]
　　= ( e^[-at]/2b ) [ { a x0 + v0 } (e^[b t]-e^[-b t]) + b x0 (e^[b t] + e^[-b t]) ]
　　= ( e^[-at]/b ) [ { a x0 + v0 } sinh[b t] + b x0 cosh [b t] ]

x=0を行きすぎるというのはこれが負になるという条件なので

{ a x0 + v0 } sinh[b t] + b x0 cosh [b t] <0

から

tanh[b t] < - b x0 / [ a x0 + v0 ]

bt は必ず正でその範囲ではtanh[bt]も正なので、これを満足するには

a x0 + v0 < 0

でなければならない。これはv0が負を意味する。

x=0を横切るところでは

tanh[b t] = - b x0 / [ a x0 + v0 ]

となり、xが正の領域ではtanh xは0と１の間の値を取るのでこれが解を持つためには

0< - b x0 / [ a x0 + v0 ] < 1
0 < b x0 < - [ a x0 + v0 ]
(上で確認した通りa x0 + v0が負なので不等号の向きは変らない)

この条件を満足するとx(t) < 0となるtが存在するので、x=0を横切らないためには

0 ≧ b x0 または b x0 ≧ - [ a x0 + v0 ]

x0が正の条件から左側の条件を満足することはないので、右の条件から

v0 ≧ - (a + b) x0

であればx=0を横切らない。