流体

質問

次の問題を解いてみたのですが途中からわかりません。また自分で解いた答えも間違えているかもしれないのでわかる方がいましたら解法を教えてください。お願いします。

[問題]

下図は静止したシリンダの中で、シリンダと同軸の半径Rのドラムが一定角速度Ωで回転している様子を表したものである。シリンダには溝1と溝２がつけられている。流れは図に示された平面内の二次元流れとなっている。経路CDの隙間間隔は経路AEBのみを通って溝２より流出すると考えてよい。点Bでの圧力は点Aでの圧力よりも△Pだけ高くなっている。点Aを原点としてシリンダ表面に沿ってx座標、これと垂直にｙ座標をとる。経路AEBのすきま間隔はｈでRよりも十分小さく、すきま内の流れは十分発達した層流として、以下の問いに答えよ。

(１)すきま内の流れは以下の式で近似できる。

　　　　　　　　　　　d^2u/dy^2=(1/μ）(dP/dx)

ただしuは流速、Pは圧力、μは粘性係数である。この式を適切な条件下で解き、流速を求めよ。(できたら速度分布を図示してください）

(２)紙面に垂直な単位幅あたりの体積流量Qを求めなさい。

(３)(２)の結果を用いて、経路AEBのAB間の距離lとして圧力差△Pを求めよ。

(４)ドラム表面に働くせん断応力τを求めなさい。

(５）ドラム表面から毎秒与えられる仕事のうち、Q△Pだけが流体に与えられるとして、流体輸送の効率をもとめなさい。ただし、ドラム表面からは経路AEBのすきまを通して仕事が与えられるものとする。
----------------------------------------------------------------------------------
[自分の答え]

(1)
二回ｙで積分して

　　　　　u=(1/2μ)(dP/dx)(y^2-hy)

（ ただし境界条件y=0のときu=0,y=hのときu=0より）

(２)
　 　Q=∫(0→h)udh=-(h^3/12)(dP/dx)

(3)
Q=-(h^3/12)(△P/l)

　　　　　△P＝－12μl/h^3

(4)
ニュートンの粘性法則より
　　　　　τ＝μdu/dy=(1/2)(dp/dx)(2y-h)

(5)
?

回答No.2

superkamecha · ベストアンサー

ＡＮｏ，１です。
あぁ、このνみたいなのがｙでしたか。外側がｙ＝０だったんですね。失礼しました。
ならば、ｙ＝ｈ　で　ｕ＝ＲΩ　ですね。
壁面せん断応力は、ｙ＝０の面と、ｙ＝ｈの面の両方に働いていますが、ドラムの負荷になっているのは、当然、半径Ｒの面（ｙ＝ｈの面）だけです。ｙ＝０の面に働いている力は、ここでは考える必要がないですね。

お礼

納得できました.どうもありがとうございます。

回答No.1

superkamecha

これは、円流路を１次元流れに近似したものですね。
残念ながら、（１）から間違ってますね。積分はいいのですが、境界条件が違う。ｙ＝０ではｕ＝ＲΩです。速度分布形状は、極値のないゆるやかなカーブ（内側に凸かな）ですね。
（１）を修正すれば、（４）までの考え方はＯＫと思われますので、式が導けるでしょう。
（５）は、出力はＱΔＰ；単位は［Ｊ／ｓ＝ｗａｔｔ］と与えられていますから、対する入力が算出できれば良いわけですね。で、この問題では、入力はドラムの回転だけです。回転の動力はズバリ書くと、
「抵抗のモーメント」×「角速度；Ω」です。で、更に、
「抵抗のモーメント」＝「外周の抵抗力」×「半径；Ｒ」で、
「外周の抵抗力」＝「粘性によるせん断応力」×「外周表面積；２πＲ」で、
「粘性によるせん断応力」＝μ・ｄｕ／ｄｙのｙ＝０での値（ｙ＝０を代入しないとダメですよ）
ですね。
以上で、全てが定式化できるでしょう。

補足

回答ありがとうございます。（1）で点Aがｙの原点になっているので初期条件はｙ＝ｈのときu＝Rωでしょうか？
　　　そうなると（5）の粘性によるせん断応力はｙ＝ｈつまりドラム上で生じるということのでしょうか？