ベクトル：ΔABCの外心Oを・・・

質問

授業の問題演習で先生が出題したのですが、先生が問題の出典を忘れてしまい、授業中にみんなで解いたのですが、誰も答えまでたどりつけませんでした。（先生もです…。）
自分でもう１回解いてみたんですが、やっぱり答えまでたどりつけません。
どうか考え方を教えてください。
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問．
三角形ABCの３辺の長さは、AB＝６，BC＝２√13，CA＝８である。
ベクトルAB＝ベクトルｂ，ベクトルAC＝ベクトルｃ　とおくとき、内積　ベクトルｂ・ベクトルｃ　の値を求めよ。
また、三角形ABCの外心Ｏとして、ベクトルＡＯをベクトルｂ，ベクトルｃを使って表せ。
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【途中までの解】
内積は２４とでました。（余弦定理から∠Ａ＝60°。内積の公式から6×8×1／2＝24）

ここからがわかりません。
とりあえず外接円の半径Ｒを正弦定理から求め、
Ｒ＝２√39／３　という値が出ました（←この値はあっていますか？）
つまり、｜ベクトルＡＯ｜＝｜ベクトルＢＯ｜＝｜ベクトルＣＯ｜＝Ｒ　ということになりますよね？

ここからいろいろなやり方を試行錯誤しているのですが、どれも答えまではたどりつけません。
最初に思いついたのは、
　　　ベクトルＡＯ＝ベクトルＡＢ＋ベクトルＢＯ
また、ベクトルＡＯ＝ベクトルＡＣ＋ベクトルＣＯ
のようにベクトルＡＯをいろいろなベクトルで表現して最後に係数比較するやりかたでした・・・・。

なにか別の方法はありますか？それともこのまま工夫すれば答えまで行けるのでしょうか？？
よろしくお願いします。

回答No.2

chicken_man · ベストアンサー

外心をOとすると、

AO＝sAB＋tAC（s,tは実数）と表せる。
Oを通り直線ABと直交する直線はABの中点を通るので

{AO－(1/2)AB}⊥AB　よって
[{s－(1/2)}AB＋tAC]・AB＝0
{s－(1/2)}|AB|^2＋tAB・AC＝0　　AB=6 AB・AC=c・b=24
36{s－(1/2)}＋24t＝0
36s＋24t＝18
6s＋4t＝3

これを同様にACでもやると
{AO－(1/2)AC}⊥AC　よって
{t－(1/2)}|AC|^2＋sAB・AC＝0　　AC=8 AB・AC=c・b=24
64{t－(1/2)}＋24s＝0
24s＋64t＝32
6s＋16t＝８

よって12t＝5　t＝5/12　s＝2/9
AO＝(2/9)AB＋(5/12)AC
　＝(2/9)ｂ＋(5/12)ｃ

たぶんこんな感じ。

参考URL：

http://www.crossroad.jp/cgi-bin/form.cgi?target=http://www.crossroad.jp/mathnavi/kousiki/zukei/gaisinn.html

お礼

外心の定義を使うんですね。
やってみたらご回答通りの答えになりました。
半径の大きさにこだわってしまったので、せっかく内積＝０の式を立てていたのに、気付かなかった自分が悔しいです。。。
詳しい解説ありがとうございました！

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin）

計算が結構面倒ですが、
AO = tb + sc　などと置いてやれば、
|AO|^2 = |BO|^2 = |CO|^2　から求まります。

補足

すばやい回答ありがとうございます！
まず、AO = tb + sc　の両辺を２乗して、式を変形してみたら、ｓとｔの２次方程式（？）になりましたが、ここで行き詰まってしまいました。。。