∫[0～2π]√(1+cosθ)dθの解き方

質問

∫[0～2π]√(1+cosθ)dθの解き方を教えて下さい

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞∫[0～2π]√(1+cosθ)dθ
＝２∫[0～π]√(1+cosθ)dθ
２倍角の公式より、
１＋cosθ＝２cos^2（θ/2）
０≦θ≦πより、０≦θ/2≦π/2だから、cos（θ/2）≧０
√(1+cosθ)＝√｛２cos^2（θ/2）｝＝√２cos（θ/2）
＝２√２∫[0～π]cos（θ/2）dθ
＝２√２［２sin（θ/2）］［0～π］
＝４√２