等比数列について

質問

お世話になっております。
次の問題なのですが、

問「公比が正の数である等比数列{An}について、A1+A2=3、A3+A4=12であるという。この数列の第7項を求めよ」

公比rを使って、A1・r=A2で、順次rの次数が1上がると考えれば、r＞0の時、直感的に初項=1、第2項=2が分かって、r=2もわかり、ここからA7=64が導けたのですが、何か直感的過ぎて、もう少し一般的な解き方が無いのかな、と思いました。因みに解は合っておりました。
この手の問題に類似の問題が参考書にも無かったので、ご存じの方のアドバイスをいただければと思います。

宜しくお願いします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

A[1]=a
A[2]=ar
a(1+r)=3 …… (1)

A[3]=ar^2
A[4]=ar^3
ar^2(1+r)=12 …… (2)

(2)÷(1)より
r^2=4
r>0より、r=2
a=1

A[7]=ar^6=64

お礼

よく分かりました。辺々割るのですね。

ご回答感謝します。

回答No.2

s10sjsqsksa

未知数が２個で、ヒントの式が２個あるので連立方程式として解けば理論的に説明出来ると思います。

初項をx、公比をrとすると
x＋xr＝３　・・・（１）
xr^2+xr^3＝１２　・・・（２）
ここで＾は＾２や＾３は２乗３乗のことです。
（２）式を変形して
(x+xr)r^2 = 12　・・・（３）
（３）式の()中の形は（１）の左辺と同じ為（１）式を（３）式に代入すると
３r＾２＝１２
r＾２＝４
よって公比r＝２
これを（１）式に代入すると
x＋２x＝３
よって初項x＝１

お礼

等比数列に関する連立方程式は辺々割るのですね。

ご回答ありがとうございました。