二次不等式の符号の向き

質問

-2x^2+x+1<0

両辺に-1を掛けて、2x^2-x-1＝(2x+1)(x-1)

y>0に対応するxは、x<-1/2または1<x

と書いてあります、

何故、xよりも-1/2が大きく、1がxよりも小さいのかが理解できません。
今まで符号の向きは、公式に当てはめて変えていたので、問題に対する答えを用意することは出来ても、その答えに至る過程、理屈が分かりません。
参考書の解説にグラフが書いてあるんですが、これを見てもよく分かりません。
助けて下さい。

回答No.3

asuncion · ベストアンサー

-2x^2+x+1<0
両辺に-1をかけると不等号の向きが変わるので
2x^2-x-1>0
(2x+1)(x-1)>0
ここで、y=2x^2-x-1のグラフを書いてみます。
このグラフのx軸との交点は、y=0とおいて得られる-1/2と1です。
そして、このグラフは、x^2の係数が正ですので、下に凸です。
今回求めたいのは、y>0となるxの範囲です。
x軸（つまりy=0）を境目として、x軸よりも上の部分だけに着目します。x軸より下は無視します。
そうすると、xの値として、-1/2よりも小さいか、または、1よりも大きい場合にy>0となることがわかります。
よって、最初の不等式
-2x^2+x+1<0
の答えは、x<-1/2またはx>1となります。
ご不明な点があれば、どうぞ。

回答No.5

KEIS050162

その答えに至る過程、理屈は、
既に回答のある通り、グラフを書いてみれば分かると思います。公式を弄り回していても理屈は分かりませんので、例題をやるたび、何度でもグラフを書いてみてください。そのうち、書かなくても理解できる様になってきます。

不等式ではなく、方程式の場合でも同様ですが、等式の場合、下記の様なｘの二次方程式になります。

－２ｘ＾２＋ｘ＋１　＝　０

これは、　ｙ　＝　－ｘ＾２＋ｘ＋１　と置いて、ｘｙ平面にグラフを書いたとき、ｙ＝０となる点（即ちx軸との交点）を表しますので、ｘ軸との交点のｘ座標が、ｙ＝０を満たす点が、この方程式の解となります。

不等式の場合は、ｙ＜０　となる　ｘの範囲　が解になります。

両辺を－１倍した場合、不等式の向きが逆になりますが、これはグラフがそのまま天地が逆になることを示しています。

ためしに、　　　ｙ＝－２ｘ＾２＋ｘ＋１　（ｙ＜０）
　　　　　　　　　ｙ＝　２ｘ＾２－ｘ－１　（ｙ＞０）　　の二つのグラフを書いてみると良く分かります。

上の方は上に凸の曲線で、求める答えは、ｙ＜０　即ち、ｘ軸より下の部分、
下の方は下に凸の曲線で、求める答えは、ｙ＞０　即ち、ｘ時より上の部分となり、それぞれその範囲を満たすｘの領域は同じになることが分かるかと思います。

ご参考に。

回答No.4

asuncion

＞xよりも-1/2が大きく、1がxよりも小さい

まあ、確かにその表現で間違いはないのですが、それよりも、
xを主語にして
xは-1/2よりも小さい、または
xは1よりも大きい
と読む方がわかりやすいのではなかろうかと思います。

回答No.2

picknic

タイプミスなのかどうかわかりませんが、いろいろ理解できていないようですね。
質問のポイントが不明なので漠然に理解できていないのではと。

ポイントは３つあります。
１．負の数をかけると不等号の向きが変わる（下の例のように移項を使えば必要ないけど）
２．実数A,Bにおいて積が正になる場合は、A>0かつB＞０である
３．数直線を書いて答えを求める

-2x^2+x+1<0
右辺にすべて移項します。
0<2x^2-x-1
0<(2x+1)(x-1)
さて、実数A,Bにおいて積が０より大きくなるためには、
（１）A＞０かつB＞０
または
（２）A<0かつB<0
である必要があります。

（１）の場合、
２ｘ＋１＞０　かつ　ｘ－１＞０
これはそれぞれ
x>-1/2 かつ x>1
だからx>-1/2のほうだけ気にすればいいですよね。（数直線書いてみて）
だからｘ＞-1/2

（２）の場合
２ｘ＋１＜０かつｘ－１＜０
これはそれぞれ
x<-1/2 かつ x<1
だからx<1のほうだけ気にすればいいですよね。（数直線書いてみて）

(1),(2)を合わせて
xよりも-1/2が大きく、1がxよりも小さいが答えになります。

回答No.1

yyssaa

(2x+1)(x-1)＞0は両方の()内が共に正、
又は共に負のときです。
共に正：x>1かつx>-１/2からx>1
共に負：x<1かつx<-１/2からx<-1/2
従って答えはx<-1/2またはx>1
となります。