数学のベクトルの問題です。

質問

a→=(3,1)、b→=(1,2)、c→=a→+tb→(tは実数)について、
｜c→｜の最小値とそのときのtの値を求めよ。

このとき、ｃを二乗して求めるのは
わかりますが、

ｃが最小のとき、｜ｃ→｜も最小となる

そのｃの二乗を、ｃにかえるときの質問です
、最小値はｃが二乗になってたのでルートにする

しかし、なぜtの値は二乗のときも二乗なしのときも変わらないのですか

回答No.3

ferien · ベストアンサー

→=(3,1)、b→=(1,2)、c→=a→+tb→(tは実数)について、
｜c→｜の最小値とそのときのtの値を求めよ。

＞しかし、なぜtの値は二乗のときも二乗なしのときも変わらないのですか
ｔの値が変わってしまったら、ｃの二乗から求めるｃの値は得られません。
ｃ＝（３，１＋ｔ（１，２）
　＝（３＋ｔ，１＋２ｔ）……（１）
｜ｃ｜^2＝（３＋ｔ）^2＋（１＋２ｔ）^2
　　　　＝５ｔ^2＋１０ｔ＋１０
　　　　＝５（ｔ＋１）^2＋５
ｔ＝－１のとき、最小値｜ｃ｜^2＝５だから、最小値｜ｃ｜＝√５

ｔ＝－１を（１）に代入してみると、
ｃ＝（２，－１）
｜ｃ｜^2＝２^2＋（－１）^2＝５より、｜ｃ｜＝√５　です。
ｔ＝－１だから、｜ｃ｜＝√５が得られます。

回答になっていますか？

回答No.4

asuncion

＞ｔはルートがつかないでそのままなのですか

なぜ、「tだけ」がそのままなのだろう、という疑問をお持ちなのでしょうか。
aとかbにはルートが付かなくてよい、という認識はおありなんですね。

回答No.2

picknic

＃１です
最後の定数が１５になっているけど、５の間違い。

補足

ｔ＝－１のとき最小値５をとるのは、Ｃ＾２のとき
このときに、二乗をはずして、Ｃ＝にするときに最小値は√５とするのになぜ
ｔはルートがつかないでそのままなのですか

回答No.1

picknic

ベクトルcの最小値＝（ベクトルa + t×ベクトルb）の最小値

（ベクトルa + t×ベクトルb）を最小値にするtは、
(3+t,1+2b)を最小にするtと等しい。

(3+t,1+2t)の長さとは、((3+t)^2+(1+2t)^2）^(1/2)のことであり、
これを最小にするtは、
(3+t)^2+(1+2t)^2)を最小にするtと等しく、
9+6t+t^2+1+4t+4t^2を最小にするtと等しく、
5t^2+10t+10=5(t^2+2t+1-1)+10=5(t+1)^2+15を最小にするtと等しく、
そのtは-1である。

どこらが疑問になりますか？