複素数列（大学レベル）

質問

数列{a[n]} (n=1,2,3,......)について以下の問いに答えよ。

(1): a[n+2]+pa[n+1]+q[n]=0 とする。 このとき、b[n]=a[n+1]-αa[n]によって定められる数列{b[n]}が公比βの等比数列となるようなαとβをすべて求めよ。

(2): （n+2）a[n+2]-2(n+1)a[n+1]cosθ+na[n]=0 であるとき、a[1]とa[2]を用いてa[n] (n≧3) を表せ。
ただし　0＜θ＜π/2　とする。

(3): a[1]=1、a[2]=i とし、複素平面上で原点をO、複素数a[n]を表す点をA[n]とする。
a[n]が (2) の式で表されるとき、三角形OA[n]A[n+1] （n≧3）の面積を求めよ。

この3問を解ける方は解法を教えて頂きたいです。

自分で解いた限りでは、(1)は
(α,β)=( -p/2マイプラ(√p^2-4q)/2 , -p/2±(√p^2-4q)/2 )
となり、(2)と(3)は全くわかりませんでした。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

(1)のb[n]と
(2)のb[n]は文脈からして
異なるものです．

見にくいなら(2)のb[n]はc[n]とでもしてください
単にna[n]のまま計算するのが面倒だから
置き換えるだけです

そうすれば(2)は(1)に帰着します．

「大学レベル」といってるので
大学生であって当然受験はしてると判断しました．
受験しているなら，数学II（のはず）は履修しているはずで
そうなると，三項間漸化式は知ってると判断しました．

お礼

遅くなってしまいすみません。
回答ありがとうございました。

回答No.2

kabaokaba

(1)は三項間漸化式の基本
受験してるなら知らないのはまずいと思う

(2)b[n]=na[n]とおけばいい
b[n+2]-2b[n+1]cosθ+b[n]=0
であって
(1)のα，βとして
α+β=2cosθ
αβ=1
をみたすものをとればいい
解の公式にでも当てはめればいいけど
慣れてれば
α=cosθ+isinθ
β=cosθ-isinθ
だというのが見えると思う
これで，b[n]が計算できる

(3)
(2)で計算したものを利用する

===========
αとβの形が特徴的だから，実際に計算する際には
見た目よりかなり楽な計算になるはず
α=e^{iθ}，β=e^{-iθ}と書けばいい．

補足

回答ありがとうございます。

(1)についてですが、数列は全く手に付けていませんが
αβ=q , -α-β=p , β^2+pβ+q=0
となり、解を求めるのは間違っているんでしょうか。

(２)はb[n]=na[n]とおくことが出来る理由が分からないです。

申し訳ありませんが、教えて頂けないでしょうか。

回答No.1

spring135

a[n+2]+pa[n+1]+q[n]=0

q[n]?

補足

すみません。

qa[n] の間違いです。