イデアルについて質問です

質問

ｆ:R→Ｒ’が準同型である。このときＲ’のイデアルＪについてｆ＾（-1）（Ｊ）がイデアルにならないものの例を挙げよ。

という問題なのですがおそらく全射にならない準同型を考えれば、よいと思うのですが、どのような例がありますか？教えてください。

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

f^(-1)(J)がイデアルにならないような環準同型fとイデアルJは存在しないのではないでしょうか。

次のことを示せば、f^(-1)(J)が必ずイデアルになることを言えると思います（以下、Jは左側イデアルと想定します）。

（１）　0 ∈ f^(-1)(J)
（２）　a ∈ f^(-1)(J) なら -a ∈ f^(-1)(J)
（３）　a ∈ f^(-1)(J) 、b ∈ f^(-1)(J) なら b ∈ f^(-1)(J)
（４）　a ∈ f^(-1)(J) 、r ∈ Rなら ra ∈ f^(-1)(J)

（１）について
f(0 )= 0 ∈ Jである。したがって、0 ∈ f^(-1)(J)

（２）について
f(a)+f(-a) = f(0) = 0より、f(-a) = 0-f(a) ∈ Jである。したがって、-a ∈ f^(-1)(J)

（３）について
f(a+b) = f(a)+f(b) ∈ Jである。したがって、a+b ∈ f^(-1)(J)

（４）について
f(ra) = f(r) f(a) ∈ Jである。したがって、ra ∈ f^(-1)(J)

お礼

確かにそのような気がします。
例はないのですね。問題が間違っていたのかもしれません。先生に確認をとってみます。

回答No.1

ramayana

イデアルの環準同型による逆像は、常にイデアルになるものと思っていました。R'からR'/Jへの標準写像をgとして、h=fgとすれば、f^(-1)(J)=Ker(h)=h^(-1)(0)ですよね？

お礼

ごめんなさい、よくわかりません。