直行変換

質問

xyz座標軸を、z軸のまわりに角θだけ回転させる時、原点Ｏに関する任意の位置ベクトルⅹがf(ⅹ)に移されたとする。座標軸方向の基本ベクトルe1,e2,e3に関する直行変換fの表現行列を求めよ。
という問題で
f(e1) = e1 cosθ + e2 sinθ
f(e2) = -e1 sinθ + e2 cosθ
f(e3) = e3
となるそうです
z軸まわりの回転なので f(e3) = e3 となるのは理解できるのですが
f(e1) = e1 cosθ + e2 sinθ
と
f(e2) = -e1 sinθ + e2 cosθ
がよく理解できないません
なんでこのようになるのか詳しく教えてください。お願いします。

回答No.1

Rossana · ベストアンサー

いろいろ解法はあるでしょうが，内積を利用して考えてみます．図形も描くと分かりやすいでしょう．
半径r方向を向く単位ベクトルer，角度θの増加方向を向く単位ベクトルeθ(erに直交)，z方向の単位ベクトル
ezとすると
f(e1)=er=(er・e1)e1+(er・e2)e2
=cosθe1+cos(π/2－θ)e2
=e1cosθ+e2sinθ

f(e2)=eθ=(eθ・e1)e1+(eθ・e2)e2
=cos(θ＋π/2)e1+cosθe2
=-e1sinθ+e2cosθ

f(e3)=ez=e3
分からないところがあったら補足下さい．

お礼

絵を描いて計算してみて納得することができました。
詳しい回答ありがとうございました。

回答No.2

BLUEPIXY

三角関数の加法定理の証明の時のような図を描けばわかりがいいかと思います。
ｚ軸まわりの回転なので、（x,y)の点を回転させる写像と同じですよね。
sin(α＋β)=sinαcosβ+cosαsinβ
cos(α＋β)=cosαcosβ-sinαsinβ
ですよね。(x0,y0)をθ回転させて(x1,y1)になったとすると
加法定理の式は、
y1=sin(α＋θ)=sinαcosθ+cosαsinθ
x1=cos(α＋θ)=cosαcosθ-sinαsinθ
で
y0=sinα
x0=cosα
だから
y1=y0cosθ+x0sinθ
x1=x0cosθ-y0sinθ
ですよね。
これだと、e1がｙ成分でe2がｘ成分になるけど
なんか間違ったかな？

お礼

詳しい回答ありがとうございました。
納得することができました。