4≦a≦9、4≦b≦9を満たす整数a、b

質問

b^3-aと3b^3+a^4-a^2-2aの最大公約数が5であるならばa＝b＝5、またはa＝？、b＝？である

という問題で全く解法が思い浮かばないのでヒントだけでも教えてください！ちなみにヒントを聞いてもつまったりしてまた補足質問するかもしれないです！

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

mとnが分からないのに5の倍数になるaが分かるんでしょうか？
>a^4-a^2+a=5(m-3n)
右辺が５の整数倍ですから
aに４、６、７、８、９を順に入れて計算して
左辺が５の整数倍になれば、それがaです。

お礼

わかりました！回答ありがとうございました！

回答No.4

nag0720

3b^3+a^4-a^2-2a=3(b^3-a)+a^4-a^2+a
だから、
「b^3-aとa^4-a^2+aの最大公約数が5」としても同じ。

a^4-a^2+a=a{a(a+1)(a-1)+1}
とすれば計算しやすいでしょう。
これが5の倍数となるのはa=5,8のときのみ。

あとは、b^3-aが5の倍数になるbを求めて、最大公約数が5かどうか確認するだけ。

お礼

別視点ですね！助かります！ありがとうございました！

回答No.2

yyssaa

b^3-a=5n
3b^3+a^4-a^2-2a=5m
b^3同士をイコールとしてaだけの式にして
aに4～9を入れて5の倍数になるaを見つけては
どうですか？

お礼

b^3=a＋5nとb^3＝(－a^4＋a^2＋2a＋5m)/3で
3a＋15n＝－a^4＋a^2＋2a＋5m
a^4－a^2＋a＝5m－15nになりますね！
mとnが分からないのに5の倍数になるaが分かるんでしょうか？

回答No.1

f272

最大公約数が5であるということは，b^3-aと3b^3+a^4-a^2-2aはどちらも5で割り切れるということ。
4≦a≦9、4≦b≦9を満たす整数a、bは36通りしかないから，計算してみたらどうかな。
5で割った余りだけを考えればいいから，計算はだいぶ楽になるはず。

お礼

できれば先のことも考えて一つ一つ試せない他の似たような問題にも使えるような方法があるとよいのですが...
最終手段として検討します！回答ありがとうございました！