重積分の範囲が違ってました、、

質問

球x^2+y^2+z^2<12 と√(3)z>√(x^2+y^2) の共通部分vの体積|v|

でした。
もう一度、よろしくお願いします。

回答No.2

info22_

#1です。

共通部分の立体の形状の図です。
A#2の簡単な補足説明です。

立体はz軸の対して回転対称であるのでA#1に書いたように

0≦z≦√3の範囲の円錐部分V1
と
√3≦z≦2√3の範囲の球の一部V2

の体積を加えたものが全体の体積Vになります。
V=V1+V2

このV1は積分を使わなくても円錐の体積公式
V1=hπ(r^2)/3=√3*(3^2)/3=3√3π
で計算できます。

V2の方はA#1に書いた回転体の積分公式の計算で簡単に求められます。
V2=5√3π

回答No.1

info22_

r=√(x^2+y^2)とおくと回転体の体積公式を使って
V=π∫[0,√3] r^2dz+π∫[√3,√12] r^2 dz
=π∫[0,√3] 2z^2dz+π∫[√3,√12] (12-z^2)dz
=π*3√3+π*5√3
=8√3π