数学です

質問

期末テストが終わり、理系に進むために勉強をしているのですがわからず教えていただきたいです^_^;
数IIですが皆無です、解答解説お願いいたします!

部活強化の練習により日々忙しいのでベスアンサーは遅くなりますが必ずします！
みなさんお忙しいことは十分承知です！
お願いします！

aは定数のとき、xy平面上の2点A(3a,0)B(0,3)に対して、PA:PB=1:2を満たす点Pの軌跡をCとする。

このとき、Cの方程式を求めよ。
また、直線l:x+y=aがCによって切り取られる線分の長さをLとする。aの値が範囲するとき、Lの最大値およびaの値を求めよ。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

Pの座標を(x,y)とおく。

PA:PB=1:2より
　PA^2:PB^2=1:4
　PB^2=4PA^2　...(1)
(1)に
　PB^2=x^2+(y-3)^2
　PA^2=(x-3a)^2+y^2
を代入
　x^2+(y-3)^2=4(x-3a)^2+4y^2
整理すると
　(x-4a)^2+(y+1)^2=4(1+a^2) ...(2)
これがCの方程式である。

　l:x+y=a ...(3)

Cとlの交点(x1,y1),(x2,y2)は、(2)と(3)の連立方程式を解いて得られる。
　x1={5a+1-√(-a^2+6a+7)}/2,y1={-3a-1+√(-a^2+6a+7)}/2
　x2={5a+1+√(-a^2+6a+7)}/2,y2=-{3a+1+√(-a^2+6a+7)}/2
切り取られる線分の長さLの２乗をL2とおくと
　L2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(-a^2+6a+7)+(-a^2+6a+7)
　　=2(-a^2+6a+7)=-2(a-3)^2+32

>aの値が範囲するとき
aの範囲が問題から抜けていますが、なんでしょうか？

もし、aの値が実数の範囲や正の範囲をとるのであれば

a=3の時 L2は最大値32をとる。従って、
　Lの最大値は、L2の最大値の平方根に等しいから
　　√32=4√2
　となります(a=3)。

回答No.4

mister_moonlight

求める軌跡が　(x-4a)^2+(y+1)^2=4(1+a^2) であるところまでは省略。単なる計算問題だから。

x+y=aを(x-4a)^2+(y+1)^2=4(1+a^2) に代入すると、2x＾2-2(5a＋1)x＋13a＾2＋2a-3＝0　‥‥(1)
この方程式の2解が2つの交点を与えるから　2点をＭ、Ｎとすると　Ｍ(α、a-α)、Ｎ(β、a-β)。
α＋β＝5a＋1、αβ＝{13a＾2＋2a-3}/2。判別式≧0から　-1≦a≦7　‥‥(2)
L＝ＭＮ＾2＝(α-β)＾2＋(a-α-a+β)＾2＝2(α-β)＾2＝2{(α＋β)＾2-4αβ}＝-25{(a-3)＾2-16}
この最大値を(2)で考えると、a＝3の時　Lの最大値は　2√5.

回答No.3

info22_

#2です。

A#2の回答を理解するのに役立つかと思い図を描いてみました。

Lはa=3の時、最大値Lmax=4√2をとります。

この時の円C,直線lとその時の線分AB、線分ABと円Cとの交点P、lと円Cの交点R,Qの
図を描きましたので添付します。

回答No.1

gohtraw

点Ｐの座標を（ｘ、ｙ）とすると、
ＰＡ＾２＝（ｘ－３ａ）＾２＋ｙ＾２
ＰＢ＾２＝ｘ＾２＋（ｙ－３）＾２
これらの比が１：４になればいいので
４（（ｘ－３ａ）＾２＋ｙ＾２）＝ｘ＾２＋（ｙ－３）＾２
４（ｘ＾２－６ａｘ＋９ａ＾２＋ｙ＾２）＝ｘ＾２＋ｙ＾２－６ｙ＋９
３ｘ＾２－２４ａｘ＋３６ａ＾２＋３ｙ＾２＋６ｙ－９＝０
３（ｘ－４ａ）＾２－１２ａ＾２＋３（ｙ＋１）＾２－１２＝０
３（ｘ－４ａ）＾２＋３（ｙ＋１）＾２＝１２ａ＾２＋１２
（ｘ－４ａ）＾２＋（ｙ＋１）＾２＝４ａ＾２＋４　・・・Ｃの式

ｙ＝ａ－ｘ　をＣの式に代入して

（ｘ－４ａ）＾２＋（ａ－ｘ＋１）＾２＝４ａ＾２＋４
これはｘの二次方程式になるので、それを解けばＣと直線ｌの交点のｘ座標が（ａを含む式で）出ます。すると交点のｙ座標も出る（ｘ＋ｙ＝ａだから）ので、あとは二つの交点の距離を（ａを含む式で）計算し、その最大値を求めればＯＫです。多分、直線ｌがＣの中心を通る時にＬが最大値になると思います。