先ほど、三角形はなぜ180度か教えていただいたが？

質問

先ほど、四角形の質問をしたとき、三角形はなぜ180度か教えていただきましたが、ちんぷんかんぷんでした。
細長い三角形もきれいな三角形も180度ですが、もう一度、なぜ三角形の角度の合計が180度なのか、分かるように教えてください。
私は算数は１で落ちこぼれでしたので、難しい解説は理解できません。すみません。

回答No.2

Ensenada · ベストアンサー

添付図の
三角形ABCに辺ABに平行な直線CD補助線として書く。
辺BCを延長した直線CEを補助線として書く。

∠ACB =∠ACB
(平行線の錯角なので) ∠BAC =∠ACD
(平行線の同位角なので)∠ABC =∠DCE
∴ ∠ACB + ∠BAC + ∠ABC = ∠BCE

∠BCEは直線なので ∠BCE =180度

これなら、どんな三角形でも内角の和は180度になります

もっと簡単な方法もあったと思ったけれど、算数を習ったのが数十年前なので忘れてしまいました＾＾；

お礼

私は頭が悪いので、算数が得意な母と解きました。
分かりました。分かると楽しいですね。
ご丁寧にありがとうございました。感謝いたします。

補足

みなさん、天才だなと思いました。

回答No.5

maccha_neko

三角形の線の上を歩くということを考えてみましょう。

たとえば、△の底辺の真ん中あたりから反時計回りに頂点B,CときてA地点を通ってもとの場所に戻るとしましょう。
B地点（右下）にくると、向きをC地点（上）側にぐるっと回して進みます。
続いてC地点でA地点側（左下）に向きを変えて進み、更にA地点でB地点側に向きを変えて進み、元の場所に戻ってちょうど一周になりますね。

さて、三角形をどんどん小さくしていって、最後にほぼ１点に近くなったとします。すると、この人は、３回に分けてぐるっとその場で回転して、一周・・つまり360度回転しているように見えます。

さて、A,B,C各頂点の角度をイ、ロ、ハとしましょうか。
すると、まずB点ではこの人は何度回転するかというと、（180－ロ）度ですね？・・たとえば正三角形だとすれば、頂点の角度は60度ですが、この人は真横からC地点方面ですから、120度（180-60度）左に回転しているわけです。

同じように、C地点でも（180－ハ）度回転してます。そして最後は(180－イ）です。
これを全部あわせると一回り・・つまり360度回転しているわけですよね？

つまり、（180－ロ）＋（180－ハ）＋（180－イ）＝360度なわけです。
180＋180＋180－ロ－ハーイ＝360
180+180=360ですから
180－ローハーイ＝０
よって、
180=ロ＋ハ＋イ
ということで、角頂点の角度を全部足すと180度になっている筈だというわけです。

この「回転しやがれ！」な考え方で角度の合計を求めるという方法は、もっと頂点の多い図形（四角形や五角形などなど）や、一見複雑な図形で角度の和を求める時などにも応用できたりするので、頭の片隅にでも置いておくと便利です。

お礼

算数が得意な母と解きました。
分かりましたが、ちょっと難しかったです。
天才ですね。
ありがとうございました。感謝いたします。

回答No.4

ennalyt

「三角形の角度の合計を180度ってことにしようぜ」
というルールを先に決めてしまったようですね。

http://sanzyutsuman.xsrv.jp/Pages/kouza47.html

だから、「なぜ？」と疑問持たれても、答えは無いんですよ。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

entap

数学的な証明方法は他の方が回答されています。
そちらを参照してください。

#実は、三角形が180°であることは幾何学上、非常に単純かつ証明の難しい事柄なのです。
幾つかの"公理"を、そうであると受け入れないと、証明できません。

1.平行線とは、決して交わらない２本の直線である。
2.平行線に対して、これと交わる直線を引いたとき、この錯角と同位角はそれぞれ等しい

さて、この１，２が成立しない事例は、実はよく知られています。
紙できれいな球体を作り、その球体上で平行でない３本の直線を引き、囲まれた図形を球体から切り取ります。３本の直線で囲まれた図形ですから、三角形のはずなのですが…角度を測ってみると、角度の合計は180°になりません。
というか、切り取った紙はゆがんでいて、平面にもなっていません。
これは、今作った三角形が平面図形ではなく、球面図形であることに由来します。
三角形の合計が180°であることは、証明できない公理に基づいた、定義上の問題に近い事実である上、成り立たない場合も容易に考え得るものです。

お礼

ご丁寧にありがとうございました。
難しかったです。

補足

天才ですね。
感謝いたします。

回答No.1

AVENGER

参考まで。

http://okwave.jp/qa/q2490533.html

お礼

携帯なので見れませんでした。すみません。
ありがとうございました。