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数学についての基本的な質問
- 数学の基本的な質問について、回答を求めています。割り算や倍数の概念について理解したいです。
- 割り算や倍数の概念について、具体的な例を用いて説明していただきたいです。
- 割り算や割合の計算方法について、具体的な手順とその理由について教えてください。
- 数学・算数
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1: 「割る」という事は，複数の物を複数の人数に，公平・均等に分けるための行為と考える。 >>じゃあ全て割り算というのは倍数の個数をもとめる為の行為なのですか？<< その通りです。 2: 全て割り算というのは倍数の個数をもとめる為の行為なのですか？で説明されています。 3:分数の仕組みがそうだから。全体を分母に当てはめ，ある条件下の数字を分子に当てはめる。40/160 何故100をかけるのか? 整数にした方が小数点を含む数字で表現するよりもわかりやすいから。
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四則演算やパーセントですね。お考えのことは、数学からすれば、一切の具体的な意味を取り除い数と、それについての演算方法の定義があるだけです。 後は、理学や工学や経済学等々、必要に応じて使っても大丈夫だよ、ということになります。 もちろん、もともとは数学とて、商業といった実用から出発したのでしょうけれど、いろいろ算術が出てきて、それ自体をまとめて学問にするのに、一切の前提を取り除いて、数から定義を始めて、現実との関係を断った純粋に仮想的な理論体系を作ったということになります。 数学がここまで来ると、今度は数学以外からは、その数学から現実に対して使えるものを選んで使うということになります。 >１：例えば、６÷２＝３ があるとしますよね？ この時の「３」というのは、言葉で詳しく説明すると一体何なのでしょうか？ 割り算は四則演算の一つですね。÷2は、乗除算についての2逆数の1/2を使うと、割り算を掛け算にすることができます。 6÷2＝6×(1/2)＝3ですね。また、分数と考えることもでき、6/2＝3でもあります。表計算ソフトでは、÷記号を使わず、/という演算記号ですね。 割り算のままでも、逆数を使って掛け算になおしても、分数でも、結果として得た3は3という数でしかありません。 もし分類するなら、自然数であったり、素数の一つであったりするだけです。 >じゃあ全て割り算というのは倍数の個数をもとめる為の行為なのですか？ そういうことにも使える、ということだけです。それに限定されるわけではないです。 >そもそも「割る」という行為がよくわかりません。。。。 割り算とは、数に対する操作方法の一つでしかありません。 足し算と引き算が対照的な対になっていると考えるならば（答えを確かめる検算ではそうなりますね）、同様に掛け算と対になっていると考えてもOKでしょう。 >２： ６は２の何倍ですか？ という問題があるとします。 これも、割り算の使い方の一つとして、そういうことにも使えるということにしか過ぎません。 未知数を使うと、もう少し関係性がはっきりするかもしれません。 6が2のx倍であるとすると、2x＝6だから両辺を2で割れば、x＝6÷2＝3、ということになり、6は2の3倍ということが分かります。 >３： １６０人のうち、数学を好きな生徒が４０人いるとします。 その時の、生徒全体の人数における数学が好きと答えた生徒の割合は何％か？ 割合というのは、何かの数に対する別の数の比ということですね。通常、0～1を用います（負も考慮すると、-1～1）。 何かを1と見立てて、それに対して別の何かがどのくらいかということです。 きっちり同じでないなら1未満で小数ですが、感じが掴みにくいこともあるため、元の数を100と見立てたら、それに対してどれくらいか、と直したのがパーセントです。 160を1と見立てて、40がxになると考えた場合、160：40＝1：xという関係が成り立ちます。 計算方法はいろいろでしょうが、こういう比の式では「内項と外項の積が等しい」という定理を使うと、160x＝40となり、x＝40÷160＝0.25となり、比としては0.25、パーセント表示は100倍して25％です。 全体が160であって、40はそれに対してどれくらい小さいかというのが、比であり、もし100倍したほうが感じが掴みやすいなら、それを100倍したのがパーセントです。 もっと比が小さい場合は、ppmという百万倍した表示方法もあります。 もちろん、結果が120％＝1.2といった、元の数より大きい場合もあります。元の数を1＝100％と見立てた時、別の数がそれより大きい場合もよくあります。 経済成長がある場合などがそうですね。去年をを1＝100％と見立てて、今年はそれに対して1.05＝105％であったりすると、5％の成長と言ったりします（0.95＝95％になってしまって、マイナス5％とかだと、嫌ですね^^;）。 要は、数学は万能の道具であるために、一切の意味づけをしていないわけです。 それを、考えたい問題や現実に当てはめて使って行くわけです。当てはめたい問題や現実が、数学の式そっくりになっていれば、後は数学が決めてくれた操作をすれば、結果が分かるということです。 たとえば、てこというものはよく使います。しかし、てこに特定の意味はありません。意味つけがないからこそ、くぎ抜きから複雑な機械まで、あるいは遊具に、どうとでも使えます。そういうことに似ているかもしれません。
お礼
なるほど。。。 回答ありがとうございました。
え～と僕が解答していい身分なのかどうか。。。 そこ辺の工場で派遣として働いている22才の僕ですがこうしては？と思った事を書かせていただきます。 大学は出た事がないので知識に欠点があるのでどうかそこはご了承して頂いてこんな考え方もあるんだ程度に私の話を聞いて頂ければ幸いです。 『１』の問題ですと割り算とはどうゆうものか？ ６÷２＝３の「３」とはどうゆうものか？という事について解答させていただきます。 そもそも僕の中での割り算の認識が２つありまして １つは「６÷２＝３」の時、６を２つに平等に分けると１つあたりいくつの数になるのか。 例えで言うと「6個のりんごを2人の友達に平等に渡すには1人当たり3個渡すと平等」という事です。 そして2つ目の認識が「６÷２＝３」の時、６という数字の中に２という数字は何個入っているのか。 別の言い方だと６という数字は２が何個集まって出来た数なのか。という事です。 例えで言うと「6個のりんごは2個のりんごが3セット集まって出来る数」という事です。 ここで『１』の問題で「１～３００の整数のうち、３で割り切れる数は何個ありますか」という問題で大事なのは「３００という数字は３が何個集まって出来た数ですか？」という解釈でもいい訳になります。 倍数というのはそもそも２だったら２・４・６・８・・・・と２と言う積み木を重ねていくというイメージを持つといいです。 そのある程度重なった積み木の中に２という積み木が何個、隠れているのか？を探す行為が割り算です。 10という積み木だったら2の積み木が5個から出来てますし、11という積み木だったら２の積み木が5個と０．５個（５+0.5）の積み木から出来てますよってイメージですね。 私のそばに居てさんが疑問に思われています「６÷２＝３の３も倍数の個数ですよね？」は３の倍数の個数ではないです。 ６は２という数字が3個くっついて出来てますよという意味なので６は2の倍数の個数になります。 ６の中に「２・４・６」という２の倍数が3個ありますからね。 『２』の質問ですと「しかしなぜ６を２で割る事によって、６は２の何倍ですか？の答えが出てくるのかが分かりません。」という事ですが割り算とはどうゆうものか？という部分を理解していれば解けると思います♪ ６という数字は２を何個集めて出来た数なのか？という事を見つけるために「６÷２＝」をします。６の中に２という塊は何個あるんだろう？を見つける計算ですね。 そこで出てきた答えが「３」です。それは６の中には２が3個集まって出来た数という事をさしています。 ２の倍数というのは２という数字の塊がどんどん積み重なって出来る数です。 その塊の中に２という数字が何個から出来ているのか？を探すのが「倍数を探す」という行為です♪ だから割り算を使う訳なんですねд≦/ さぁｗだんだん僕のテンションが上がって来ましたｗ 『３』の問題ですと「１６０人のうち、数学を好きな生徒が４０人いるとします。 その時の、生徒全体の人数における数学が好きと答えた生徒の割合は何％か？」 という問題です。 これは数字にとらわれてしまうと理解しにくいので違うものに例えてみましょう♪ 「さっき畑から摘み取って来たいちご100個のうち、腐ったイチゴが20個あります。その時、全部のイチゴの中で腐ったイチゴの割合は何％ですか？」 という問題にしましょう♪ まずはじめにショックですね。腐ったイチゴが入っているなんて。。。 ちなみにイチゴは高価なので僕は滅多に食べませんｗイチゴシロップを牛乳に入れてイチゴがたくさん入っている牛乳と思いこんで育ってきたのでｗ そんな話は置いておいて、上の問題だと100個のイチゴの中に腐ったものはどんぐらいあるの？ どんぐらいってのは何パーセント？って聞いていると思ってくださいω≦ 全体のいちごは＝１００％の事です♪（いちご１００％という漫画を思い出しちゃいましたねｗ） 腐ったイチゴ２０個は＝まだ何パーセントか分かりません。ッと言う事にしましょうｗ この何％かを調べるときに割り算を使います♪ まずはじめに１％当たりドンぐらい腐ってんの？って事を調べます。 要は1個のイチゴで見た時にどんぐらい腐ってんの？って言う部分を調べます。 それをするときは腐ったイチゴ20個を全体のイチゴ100個で割ると1個あたりどれぐらい腐っているのか解りますよね♪ んじゃやってみましょう♪ 「２０÷１００＝0.2」 これは100個あるイチゴのうち腐ったイチゴは20個あった。でも1個当たりでみると0.2腐っている。 1個のイチゴの先っちょだけが腐っていれば100個集まった時に20個腐っているのと同じってイメージで考えましょうｗ →あ。いちごの例えじゃない方が良かった。。。。気持ちの声ですｗ まぁ気にせずに突き進みましょうｗ 「20÷１００＝０．２」というのは100個あるイチゴの内、1個だけを考えた場合の腐った部分の数字です。 さぁ問題はここからｗ 1個だけの場合すなわち１％の場合の式なのでこれを１００％に直すためには100を掛けてあげればいい訳です♪ そうすると 「０．２×１００＝２０」 この「２０」というのは腐った部分のパーセントを表しています♪ ちなみに僕は100個採ってきたイチゴをイチゴ牛乳にして飲みたいのでぐっちゃぐちゃに潰しましたｗ あ。。。。でもそういえば20個腐ってたのが混じってたなぁ。。。。 このぐっちゃぐちゃのイチゴ液の何パーセントが腐った部分なんだろう。。。。 あ！！こんな時に割り算！！ まずは100個に分けて1個あたりドンぐらい腐ってたのか見てみよう！「２０÷１００＝０．２」 あーなるほど。1個当たり０．２腐ってたって事はイチゴ1個を１００％とした時に２０％（先っちょ）は腐ってる事になるのかぁ～ ん！？ってことは「先っちょだけ腐ってるイチゴを100個」採ってきたのと「80個キレイなイチゴと20個腐ってるイチゴ」はぐちゃぐちゃにすれば腐っている割合は同じ事になるのか！！ｗ んじゃ80個キレイなイチゴ食べてるって思えば全然イケるっしょ！！！いっただきまぁ～す≧∀≦/ｗｗ っていう物語ですｗｗ 話はそれましたがここで使われた数、腐った「２０」と全体「１００」という数字だから考えやすいんです。 全体の内ある特定人数×全体の人数＝１％当たりの特定人数の割合 ↓１００％に直すためには×１００をしてあげる。 １％当たりの特定人数の割合×１００＝１００％の時の特定人数の割合 他の数字でも同じ♪ 「野球チーム300人の内、野球経験者６0人の割合」＝６0人÷300人＝0.2 「１％当たりの野球経験者は０．２％」 「靴下が破れている僕1人の内、破れた事のない僕０人の割合」＝０÷１＝０「１％当たり破れた事のない僕は０％」ｗｗ そんなバカな。。。。。ｗ 長文失礼しましたｗ
お礼
わかったようなわからないような。。。 回答ありがとうございました。
物で考えると楽です。 リンゴ６個あるとします。これを３個ひとくくりにして。 ３個がいくつあるかと考えて２つあるから この計算が割り算です。 この逆が掛け算です。
お礼
なるほど。。。 回答ありがとうございました。
お礼
回答ありがとうございました。