ラプラス変換

質問

x''+x=1 x(0)=0 x(π/2)=0

という微分方程式を解く問題なんですが答えの「1-cosT-sinT」にたどり着けません。
x'(0)=αと置いたとき、x(t)=（α+1）sinTの式まで導けたんですが、
x(π/2)=0の式に代入させたらα＝-1になってしまいます…。

どうして答えのような式になるんでしょうか？教えてください。お願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

x''+x=1
これをラプラス変換すると
　s^2*X(s)-sx(0)-x'(0)+X(s)=1/s
　(s^2+1)X(s)=(1/s)+sx(0)+x'(0)
x(0)=0,x'(0)=αを代入
　(s^2+1)X(s)=(1/s)+α
　X(s)=(1/(s(s^2+1)))+α/(s^2+1)
=(1/s)-(s/(s^2+1))+(α/(s^2+1))
ラプラス逆変換して
　x(t)=1-cos(t)+αsin(t) …(☆)
t=π/2のとき　x(π/2)=0より
　0=1+α　∴α=-1
(☆)に代入して
　x(t)=1-cos(t)-sin(t) (t≧0)　...（答え）

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

＞x'(0)=αと置いたとき、x(t)=（α+1）sinTの式まで導けたんですが、
となりますか？
x(t)を元の微分方程式に戻したところで、
2階微分にも sin(T)の形が残るので、右辺のように定数にはなりませんよね。
αの置き方自体はいいと思うのですが。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

むしろどうして「x(t)=（α+1）sinT」となったのかを聞きたい. 一目で
x''+x=1 x(0)=0 x(π/2)=0
の解にはなりえないことがわかるのに....

お礼

ありがとうございます。