わかりません。

質問

２次方程式Ｘ二乗＋aＸ＋b＝0がＸ＝１＋√２を解にもつとき、定数a.bの値を求めよ。
とゆう問題がわかりません。

どなたか回答頂けると嬉しいです。

回答No.5

ferien · ベストアンサー

No.3です。

＞そうなると、もとの2次方程式にＸ＝１＋√２を代入することでできる式である、
＞3+2√2+a(1+√2)+b=0　……（１）
＞を満たす
＞実数a,bの組み合わせすべてが答えになりませんか？

Ｘ＝１－√２がもう１つの解であるので、これをもとの２次方程式に代入して得られる式
3-2√2+a(1-√2)+b=0
と（１）を連立方程式として解けば、ａ＝－２，ｂ＝－１と
実数a,bの組みが１つに決まります。

回答No.8

ferien

＞2次方程式x^2+ax+b=0の1つの解が1＋√2のとき、もう1つの解が1－√2となるのは
＞a、bが有理数の時だけです。

問題に不備があると言う意味が分かりました。ａ，ｂが有理数なのかどうかは質問者さんでなければ分からないので何とも言えません。
個人的には、係数に有理数であると制約を付けている問題にあまり触れたことがなかったので、大して気にもとめないで解いていました。
ａ，ｂが有理数であると（暗黙にでも）仮定しなければ連立方程式が作れないので、答えが出せません。

回答No.7

noname#181872

別の見方を。
この2次方程式の片方の解は1+√2なので、もとの式を因数分解すると、
(x-(1+√2))(x-α)=0
で表せます（αはもう１つの解）。

で、解と係数の関係から、
1+√2+α=-a、α(1+√2)=b
で、a、bが有理数ならば、それを満たすためにはαは1-√2しか
あり得ません。
しかしa、bが無理数でもよければそれに応じたa、bを決められるので、
αに制約がなくなり何でもOKになります 。
例えばα=0であるx^2-(1+√2)x=0というのもOKになります。

そういったことから、a、bが有理数という前提で解いていませんか？
と書き、またa、bに制約が要りませんかと書いたのです。

回答No.6

noname#181872

2次方程式x^2+ax+b=0の1つの解が1＋√2のとき、もう1つの解が1－√2となるのは
a、bが有理数の時だけです。

解の公式から、この方程式の解は、
(-a±√(a^2-4b))/2
で、a、bが有理数なら1+√2の√2に当たる部分は±以降の項で
考えなければなりませんが、a、bが無理数でもよければ
√2にあたる部分を±より前の項で作ることができます。

たとえば#4で書いたもの以外でも、
a=-2√2、b=1であれば片方の解は1+√2を満たしますが、
もう片方の解は1-√2ではなく、√2-1です。

同様に、a=-1-√2、b=0でも片方の解は1+√2を満たしますし、
もう片方の解は1-√2ではなく0です。

そういったことからa、bに制約が必要と書いたのです。

回答No.4

noname#181872

この手の問題は、a,bが無理数となるような答えを外すため、なんらかの制約が
書いてあるのですが、問題文にそのようなことが書いてあるかな？と思い、
#1のような回答をしました。
ただ#2さんも#3さんもa,bが有理数であることを前提に解いていませんか？

で、もしa,bが有理数であるという条件がなければ、a=-√2、b=-1-√2なども解としてOKで、
そうなると、もとの2次方程式にＸ＝１＋√２を代入することでできる式である、
3+2√2+a(1+√2)+b=0
を満たす実数a,bの組み合わせすべてが答えになりませんか？

まあこれが解では問題にならないから、a,bが有理数という前提のもと解くと
3+2√2+a(1+√2)+b=(3+a+b)+√2(2+a)=0から
これを満たすためには
連立方程式
3+a+b=0
と
2+a=0
を同時に満たす必要がある、で、a,bを求めるものとは思いますが、
問題の不備ではないかなと思います。

回答No.3

ferien

＞２次方程式Ｘ二乗＋aＸ＋b＝0　……（１）がＸ＝１＋√２を解にもつとき、定数a.bの値を求めよ。

Ｘ＝１＋√２を解にもつから、もう１つの解はｘ＝１－√２
この２解をＡ、Ｂとおくと、解と係数の関係より、
Ａ＋Ｂ＝（１＋√２）＋（１－√２）＝２
ＡＢ＝（１＋√２）（１－√２）＝１－２＝－１
（１）の式から、解と係数の関係より、
Ａ＋Ｂ＝－ａ，ＡＢ＝ｂ
先ほど求めた値と比較すると、－ａ＝２，ｂ＝－１
よって、ａ＝－２，ｂ＝－１

回答No.2

Yuki3814

「xの二乗」は「x^2」のように表します。

x^2 + ax + b = 0　から
二次方程式の解の公式より
x = ( -a/2 ± √(a^2 -4b)/2 )

この解と係数を比較すると
-a/2 = 1より　a = -2

√(a^2 - 4b)/2 = √2より　b = -1

回答No.1

noname#181872

その問題、求めるものは、”定数a、bの値”でしたか？整数とか有理数とか
書いてありませんでしたか？