関数の内積とは？

質問

いつも大変お世話になっております。
　数学でベクトルの内積を勉強したのですが、ネット上でいろいろと調べていたところ、「三角関数どうしの内積」についての記述があり、「 もし関数どうしの内積がゼロであれば，2つの関数の間には共通成分が一切無いことになります。」というものでした。
　被積分関数が２つの三角関数の積となる積分に対してそのような見方があることに驚いたのですが、高校の範囲ではないとは思うのですが参考までに、お分かりの方がいらっしゃいましたら、上の記述の、「 もし関数どうしの内積がゼロであれば，2つの関数の間には共通成分が一切無いことになります。」の意味について教えていただけないでしょうか。
　よろしくお願いします。

回答No.2

hrsmmhr · ベストアンサー

三角関数は周波数によって特徴付けられ、その積は
sin(at)*sin(bt)={cos((a-b)t)-cos((a+b)t}/2
ですので
a=bもしくはa=-b以外の場合、積分すると０になります

周波数の異なる三角関数が複数交じり合った関数と
調べたい周波数成分を持つ三角関数とを掛け合わせて積分する（内積）の計算をすると
調べたい周波数成分が含まれていないときには０になります

{Σ[j=1→∞]sin(a_j*t)}*sin(a_i*t)
=sin^2(a_i*t)+Σ[j!=i]sin(a_j*t)*sin(a_i*t)

お礼

hrsmmhrさん

　ご回答いただきありがとうございました。
　もう少し考えてみます。

回答No.1

masudaya

簡単に考えると，2成分のベクトルは(x1，x2)のようにかけますね.
ですので，2個のベクトル(x1,x2),(y1,y2)の内積は

x・y=x1y1+x2y2

となります.次に数列の場合を考えてみましょう.
同じように(a1,a2,a3,・・・)とすると多成分のベクトルに見えます.
ですので,2つの数列の内積は次のように定義できます.

an・bn=a1b1+a2b2+a3b3+・・・=Σaibi

最後に関数ですが,次のように関数を書くと
(f(x),f(x+Δx),f(x+2Δx),・・・)
これもベクトルのように見えます.
よって二つの関数の内積は次のように定義できます.

f(x)・g(x)=f(x)g(x)+f(x+Δx)g(x+Δx)+f(x+2Δx)g(x+2Δx)+・・・・
=∫f(x)g(x)dx

最後は本当は極限を取るのでちょっと飛躍がありますが,
何となく理解できるのではないでしょうか.

お礼

masudayaさん
　ご回答いただきありがとうございました。
　そのような拡張的な解釈ができるのですね。

補足

質問にも書かせていただきましたが、
「関数どうしの内積がゼロ」だと、なぜ「2つの関数の間には共通成分が一切無いことにな」るのでしょうか。
　この点について、お分かりになりましたらおしえていただけると助かります。