発生率の確からしさ

質問

確率の話なのですが素人のため教えてください。

ある製品で1000個試験をすると3個（0.3%）の不良が発生します。
これが改善（不良0までいかなくても低下すれば改善とみなす）したと判断するには
改善前、改善後製品の比較試験を何個以上評価する必要があるでしょうか。
またその計算方法を知りたいです。
もちろん不良数の差異次第で判断可能な評価数量も変わるかと思います。
判断基準は検定のように「○○%一致しない」といった判断で構いません。

試しに表計算ソフトを使って、0.3%の不良がランダムに混ざったものから1000個の標本を複数取り出した場合のその中に含まれる不良数のバラツキを見てみたところ、平均3に対して標準偏差1.8程度（CV値0.6）と非常に大きな値となり、10%程度の確率で1000個試験不良発生ゼロと判断されるようで、この程度の発生率だと試験数量1000個では適正な判断ができないということは認識できています。

よろしくお願いします。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

＞試しに表計算ソフトを使って、0.3%の不良がランダムに混ざったものから1000個の標本を複数取り出した場合のその中に含まれる不良数のバラツキを見てみたところ、平均3に対して標準偏差1.8程度（CV値0.6）と非常に大きな値となり、10%程度の確率で1000個試験不良発生ゼロと判断されるようで、

ご質問の不良品の個数は、二項分布すると考えられ、発生率をpとすると、
計算上、その個数の平均は、n*p = 1000*0.3 = 3,
標準偏差は、√(n*p*(1-p)) = √(1000*0.003*0.997) = 1.73くらいとなるので、
標準偏差はそんなものかと思いますが、
nが十分多いので、正規分布すると考え、正規分布表で、3/1.73=1.73くらいを
調べると、0.4582、これから、発生ゼロとなるのは、0.5-0.4582=4.2%ほど、
確率そのものを計算しても、0.997^1000 = 5%くらい、
BASICで、100回ずつ試したら、やはり、2回～8回あたりがよく出てくるようで、
約10%というのは、ちょっと、大きすぎる感じです。何か、ミスがあるのでは？

ちなみに、これだけ発生率が低いと、少ない方は0で打ち切りなのに、多い方は、ごくごくまれ～にですが、10個、20個なんて、ケースも可能性としてはある、こういう非対称性があるので、正規分布するという仮定では、確率計算と差が出てしまう、計算の方が、より現実に近い、と思ってください(もっと発生率が高かったり、１回あたりの検査個数を増やせば、平均の不良品数も増えて、分布のグラフも対称性が高くなり、より正規分布に近づくので、差は小さくなります)。

で、本題の話ですが、

質問のような場合では、いわゆる、検定、正規分布をはじめ、こういう分布になっているとして、ある仮定が確からしいかどうかを調べる、ということをしなくても、0.3%の不良品発生率のもとで、n個を調べて、不良品ゼロの確率は、0.997^n というのがハッキリ解りいますから、これを使えば、むしろ、より現実に即した、同等のことが可能です。

＞この程度の発生率だと試験数量1000個では適正な判断ができないということは認識できています。

ということですが、もしも、２千個・３千個の検査が必要かも、と考えておられるのであれば、おそらく、そこまでやる必要はないでしょう。

不良品ゼロの確率は、
998個調べたとき、はじめて5%を切って、約4.99%に、
1538個調べたとき、はじめて1%を切って、約0.9993%に、
1764個調べたとき、はじめて0.5%を切って、約0.499%に、
2300個調べたとき、はじめて0.1%を切って、約0.0997%に、

になりますから、こういうラインで、適正と思われるあたりを選んで、それだけの個数を調べ、不良品がゼロになるかを調べる、ということでいいかと思います。

個数が少ない方のラインでチェックすると、発生確率は0.3%のままなのに、減ったと推定してしまう危険がより高く、
多い方のラインでチェックすると、発生確率は減らせている、改善はできているのに、まだできていないと推定してしまう危険がより高い、

そういう危険性や検査コストとのバランスを考えて決めることになります。
検査個数を増やして、不良品が１個以下、２個以下、３個以下などの確率を利用すると、不良品の許容個数を増やすほど、まだ改善できていないと推定してしまう危険率をある程度減らしていくことができますが、その分検査コストは増えます、これもバランスの問題です。
念のため、１個以下のときの確率の式と、上と同じ確率ラインを上げておきますと、
式は、n*0.997^(n-1)*0.003 + 0.997^n、

不良品が１個以下の確率は、
2431個調べたとき、はじめて5%を切って、約4.99%に、
3040個調べたとき、はじめて1%を切って、約0.998%に、
3297個調べたとき、はじめて0.5%を切って、約0.4998%に、
3887個調べたとき、はじめて0.1%を切って、約0.09996%に、

お礼

早速の回答ありがとうございます。
大変勉強になりました。

まず”約10%”の話ですが、1度だけ65回（Excelの列数分）試しただけです。その中で10回の”0”発生があったこと、またその標準偏差から錯覚してしまっていました。
ご指摘の通り計算で5%程度ですね。

本題に関しても、ご指摘ありがとうございます。
この話ですと改善品を1000個試験して不良0の場合、95%の確率で元の水準（不良率0.3%）よりも改善しているということですね。
確かにこの方法を用いれば試験数量とその時の不良数から元からの改善有無を判断できそうです。

ただ、このケースは元の水準を不良率0.3%と断定してそこからの比較ですので、1000個の検査で不良3個からの比較となるとかなり複雑になりそうですね。。

補足

質問者です。お礼コメントに書き間違えがありました。
違：その中で10回の”0”発生
正：その中で6回の”0”発生