統計学的なサンプル数の妥当性について

質問

ある回路の故障検査を行っています。
母集団は70,000本で、これは回路の全配線数です。
このうちの1%(700本)に対して、強制的にエラーを
付加した結果、外部から観測できたのは、630本でした。
このときの1%は、完全にランダムに選ばれたものと
します。
これから、故障を発見できる確率は、
　　　(630/700)*100 = 90%
と計算できます。
このとき、この90%という確率の信頼性は、どのように
計算できるのでしょうか？

ちなみに、視聴率の計算では、標本誤差が
　　　±2√(世帯視聴率*(100-世帯視聴率)/標本数)
となると書かれていましたが、この式は今回のような
場合にも当てはめる事ができるのでしょうか？
また、できるのなら、この式についての詳しい解説を
よろしくお願いします。

回答No.1

noname#7273 · ベストアンサー

標本が大きい場合の母比率の区間推定を考えます。

まず、母比率pの二項母集団からの標本{X1,X2,...,Xn}(Xi=0,1)に対して、
標本比率X/nは、nが十分大きければ、近似的に正規分布N(p,p(1-p)/n)に
したがいます(中心極限定理)。したがって、X/nの実現値の95%は、区間

　　p - 1.95√p(1-p)/n < X/n < p + 1.95√p(1-p)/n

内に含まれます。これをpについて解けば、ただし1.96≒2として、

　　X/n - 2√p(1-p)/n < p < X/n + 2√p(1-p)/n

を得ます。左右両辺の根号内にも未知なpが入っているので、
代わりに標本比率X/nを使用して、
信頼度95%の母比率pの信頼区間として次を得ます。

　　X/n - 2√X/n(1-X/n)/n < p < X/n + 2√X/n(1-X/n)/n

すなわち、推定したい母比率pは、

　「信頼度95%で、区間 X/n ± 2√X/n(1-X/n)/n 内に存在する」

と結論付けられます。これが、ご指摘の視聴率の計算と考えられます。

一方、今回の場合は、「強制的にエラーを付加し、外部から観察する」という実験の安定性が、
あくまでも保証されていると仮定した上での話しですが、
上記の母比率pの区間推定を利用して、信頼性95%の母比率の信頼区間として、

　　0.9 ± 2√0.9(1-0.9)/700 ≒ 0.9 ± 0.023

が得られます。

お礼

なるほど。
√で誤差範囲が効いてくるから、むやみにサンプルを
増やしてもあまり意味が無いんでうすね。
ありがとうございました。