- ベストアンサー
ベクトルはなぜ平行四辺形の辺に分解されるのか
ベクトルは何故 四角形や平行四辺形の辺に分解されるのでしょうか 平行でない四辺形の辺に分解されてもいいのでは いいのではないでしょうか どなたかわかりやすく説明していただけないでしょうか
- みんなの回答 （9）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
その他の回答 (8)
- ojisan7
- ベストアンサー率47% (489/1029)
ご質問は、「力の平行四辺形の法則」はなぜ成り立つのか、ということでしょうか？ このご質問は、力の性質について、本質的であり、非常に重要なご質問だと思います。 中学・高校・大学ではこのことについて、力はベクトル量だとして天下りに、しかも、当たり前のこととして教えています。でも、この法則は決して当たり前な法則ではありません。 「力の平行四辺形の法則」はシモン・ステヴィンによって発見されました。彼の１５８６年に発行された著書に力の平行四辺形について述べられています。力の平行四辺形の性質は決して自明な性質ではありません。また、他の力学的な法則から導かれる法則でもないのです。「力の平行四辺形の法則」は「原理」です。シモン・ステヴィンの発見は大発見であり、彼以後の、ガリレイ、ニュートンへと続く力学の発展の先駆的な偉業でもあります。
お礼
ありがとうございます 参考にさせていただきます
- htms42
- ベストアンサー率47% (1120/2361)
＃５です。 ＃６に速度について書かれています。 ＞前回、速度ベクトルが平行四辺形則で成分分解できるのは経験事実だと書きましたが、速度ベクトル「だけ」に注目するなら、全然そんな事はありません。そんなの人間の勝手です。それは速度という現象の数学的表現の問題であり、ベクトルよりもスカラー成分で計算した方が遥かに単純なので、成分分解した方が遥かにお得です（簡単だから）。 ＃５に書きましたが成分分解ができるというのは合成の規則が確認されることによって初めて言えることです。平行四辺形則というのは合成の規則です。分解はそれを逆に使っています。「成分」での表示というのは座標系の設定という表現の問題が新たに入ってきています。座標系の設定が人間の都合によるものなのです。そういう表現で考える方がやさしい場合があるということとは別の話です。 力も速度も合成可能な量であるというのは確かめないといけないことです。 力の合成（合力を求めること）については＃５に書きました。 速度の合成も確かめないとピンときません。 速度の合成というのは運動の合成のことです。 「合成」という言葉に直感的に結びついているのは２つの運動が重なっているという場面です。運動している１つの物体の上で別の物体が運動している場合です。動いている電車の中で歩くという場合を考えると分かりやすいでしょう。普通、進行方向に沿って前向きか、後ろ向きかの２つの運動しか考えていないことが多いですが横に歩いても斜めに歩いてもかまいません。流れのある川を横切るという場面もよく問題には出てきます。２次元になると急に難しくなります。数学的な形式に従えば解くことはできるでしょうが何かしっくりいかないままに答えだけが出たという結果になるのです。運動が合成されるという部分での押さえ、現象的な理解の方が追いつかないからです。平行四辺形で表されるような合成の規則に従うというのはかなり繰り返して練習しないとのみ込むことができません。数学的な表現の理解と物理的な現象の理解と２つのハードルがあります。 ２つの速度ベクトルＶ１，Ｖ２が合成された速度ベクトルをＶ３とします。合成の意味で(＋)と書くことにします。 Ｖ３＝Ｖ１(＋)Ｖ２ Ｖ２の代わりに－Ｖ２を使う事もできます。Ｖ４＝Ｖ１(+)(－Ｖ２) 「電車の中である方向に歩いてみた、次はそれとは逆方向に同じ速さで歩いてみた」という場面です。 Ｖ３，Ｖ４は地面に対する位置の変化で考えていることがわかります。電車の速度も地面に対するものです。人の歩く速度は少しややこしいです。地面に対する運動を電車に対する運動に移し替える操作が必要になります。 ２つの運動の差を取るというのを(－)と書くことにします。 これはｖ１，ｖ２で表される２つの別々の運動があって、その運動の結果の違いの生じ方を見ているという場面です。具体的には運動している片方からもう一つの運動を見ている場合に対応します。相対運動です。 ｖ３＝ｖ１(－)ｖ２ ２つの運動は対等ですから結果はどちらの立場で見るかによって変わってきます。式の後ろに書かれている運動をしている方（２の方）の立場で見ているとします。動いている電車の運動を電車の外で運動している人が見た場合に対応します。電車の位置の変化を人の位置に対して考えています。動いている電車の中で人が運動している場合の人の位置の変化を地面に対して考えている場合とは事情がかなり異なります。 ａ(＋)(－ｂ）とａ(－)ｂが同じになるということは確かめるべき内容です。数字を入れて刻々の位置を求めて確かめればいいです。でもたいていはいきなり、同じになるという事を認めて２つを区別せずに ｃ＝ａ＋(-ｂ)＝ａ－ｂ としてしまうのです。これが言えなければベクトル空間にはなりません。ベクトルだから当然なりたつとしているような感じがします。事情が違うと言っていた運動を同じものだとしてしまうような見方の変更が行われていることになります。力学の勉強ではこれもハードルの一つになります。運動という具体的な現象が背景にある速度をベクトルとして扱うというのはかなりの抽象化が行われた結果です。具体的な現象に付随しているいろんな性格の違いを切り捨てています。しかし、こういうことはたいていは考えてはいません。現象の意味を考えるのではなくて数学的な表現の方を優先させてしまっています。 二次元の相対運動の場合でも数式優先という場面が出てきます。 「東向きに動いている車から北向きに動いている車を見た時どのように見えるか」 という問いだとします。（これは普通に高校の物理で問題として出てくる場面です。） たいていは見える方向が一定の場合について、位置の変化を出して、距離の変化を求めて、相対速度にしています。教科書に載っている図は全てこの場合です。見える方向の変わる場合が例になっている説明は見たことがありません。この２つはかなり印象が異なります。東向きに走っている車の前を別の車が北向きに横切って行ったというような場合であれば、初め右に見えていた車が左に見えるように変わるのです。見える方向が大きく変わります。相対速度で考えた速度の方向は一定であるというのが納得できなくなるのです。どちらもが同じ表現になるというのを理解するのにはかなり大きなハードルを越える必要があります。でも見える方向が変わるというのが一般的な場面です。見える方向が一定であるというのは道路の交差点から同時にスタートするというような特別な場合です。たいていはこういう場面の違いを問題にしないで、刻々の位置の変化も追いかけずに、式の操作だけで一般的な表現ができたとして終わっています。図の中にいきなり速度ベクトルの矢印を書き込むという説明はこれを表しています。こういう説明である限り、見える方向が変わるという運動が相対速度で表すと同じ向きになるのはどうしてだろうという疑問が出てくる余地はありません。図から離れてそういう疑問を持つ生徒は置き去りになってしまいます。 ＃５で書いたことと重なりますがもう一度書きます。 ある量がベクトルであるということが言えるのは 大きさと向きを持っているというだけではだめです。 演算の規則も含めてのベクトルです。 図形としての矢印と、矢印がベクトルを表しているということは別のことなのです。 演算の規則の確認にはかなりの抽象化が必要になってくる場合があります。 成分の方が先だとする考え方は「数字の組をベクトルとする」という数学での立場のものです。 行列・行列式で出てくるものです。その場合、身長と体重をセットにしてベクトルと考えるというようなことも出てくるでしょう。物理で出てくるベクトルでは成分は後です。基準の方向を決めるという操作がない限り成分は出てきません。合成と分解の規則の確認がない限り成分で表すこともできません。 元々の質問がおかしいのは合成の規則が示されていないというところにあります。 ２つの任意の方向に分解するというのは可能でしょう。そのようにして得られた成分ベクトルが意味を持つのは合成するともとのベクトルに戻るという場合です。成分ベクトルともとのベクトルとの関係が平行四辺形になっていない場合はどういう合成の規則を満たすとしているのでしょうか。その合成の規則が力の場合に当てはまるのかも問題になります。
お礼
ありがとうございます 参考にさせていただきます
- htms42
- ベストアンサー率47% (1120/2361)
力をイメージしているということですからそれを踏まえて書きます。 「力はベクトルである」という判断はどこから出てきたものでしょうか。 「力は～という性質を持っている」⇔「ベクトルとは・・・という性質を持っている」 この部分についての説明がないので議論が宙に浮いてしまっています。 「力の働きは力の大きさとその力の働いている方向によって決まる」という認識を出発点にしているのであれば「ベクトルは大きさと向きの２つで表される量である」という事になります。 でもこれだけでは成分への分解は出てきません。合成の規則が示されていないからです。 ２つの力を同時に加えた時の働きと同じ働きをする一つの力を得る方法です。 これは普通は釣り合いを実現することで確かめます。 （０）釣り合っているとは「力が働いているにもかかわらず力の働きが打ち消しになってしまっていて力が働いていない状態と同じになっている」ことです。「力の働いていない状態と釣り合いの実現している状態とは同等である」という認識です。これは数学で言うと「０」の確認です。 （１）２つの力が正反対に働いていて大きさが等しければ釣り合いが実現します。これは数学で言うと逆元の存在することを示しています。 （２）「０」が存在して「逆元」が存在します。次は結合の規則です。 ある一点に２つの力Ｆ１，Ｆ２が同時に働いているとします。その２つの力の働きと同じ働きをする一つの力Ｆ３はどういうものであるかという問いです。これは２つの力Ｆ１，Ｆ２，とは別にもう一つの力Ｆ４を考えて釣り合わせたと考えると出てきます。Ｆ１，Ｆ２を合わせたものとＦ４が釣り合っているのですからＦ２とＦ３を合わせたものに等しい力Ｆ３はＦ４と大きさが等しくて向きが逆になっているはずです。 Ｆ２，Ｆ３とＦ３がどういう関係になっているかは実験で確かめる内容です。力は向きと大きさを持っているという事でしたから矢印で書くことができます。Ｆ１，Ｆ２，Ｆ４は測定で決まります。Ｆ３はＦ４と大きさが等しくて向きが逆の矢印です。Ｆ１，Ｆ２，Ｆ３の関係は分かります。これで結合の規則を導くことができます。 Ｆ３がＦ１，Ｆ２の作る平行四辺形の対角線になっているということがもし確かめられれば力は位置などと同じようなベクトルになっていることが確かめられたことになります。図形に書くことができるといううのは力が位置という量と同じ性質を持っているということです。 ２つのベクトルの作る平行四辺形の対角線を求めるということと２つのベクトルの矢印を継ぎ足して新しい矢印を求めるということは同じことです。（これが＃２の内容です。） どちらを使うにしろ、力がそういう合成の規則を満たしているというのは実験的に確かめるべき内容です。 （これが確かめられていなければベクトルという言葉を使うことができません。） （３）合成が上のような方法で出来るということであれば何か基準の方向を２つ決めておいてその上のベクトルの和で全てのベクトルを表すことができます。それが成分への分解です。です。成分による表現は合成の規則が示されていないと出来ない事です。平行四辺形の対角線から隣り合う２辺を求める作業になります。 ベクトルを成分で表すとベクトルの和は成分同士の和で表されます。 ベクトルＡ （ａ１，ａ２） ベクトルＢ （ｂ１、ｂ２） ベクトルＣ （ｃ１、ｃ２） Ｃ＝Ａ＋Ｂ であるのであればｃ１＝ａ１＋ｂ１，ｃ２＝ａ２＋ｂ２が成り立ちます。 これは平行四辺形で対角線を求めるというのと同じ内容です。 ＞平行でない四辺形の辺に分解されてもいいのではないでしょうか 「平行でない四辺形」とは「平行四辺形ではない四辺形」という意味ですね。 これは意味を持たない文章です。 分解した結果が平行四辺形になるということです。 この平行四辺形になるというのは合成の規則から決まっていることです。 ベクトルというのは１つのベクトルを矢印で表すという事だけで決まっている量ではありません。たくさんあるベクトルがすべて同じ規則で合成されたり、分解されたりするのです。 基準になる方向が直交しているか斜交しているかには関係ありません。 ベクトルを「大きさと方向をもった量である」というだけでは不足していると思います。 合成の規則まで含めて定義が成立しているのです。 矢印だけでは「ベクトル」という言葉を使うことができません。 紙に書いた矢印は単なる図形の一つであるというだけになります。 「ベクトル」という言葉を使ったのであれば合成の規則も認めたことになります。
お礼
ありがとうございます 参考にさせていただきます
- mazeran
- ベストアンサー率42% (221/518)
「分解」するのに「平行四辺形」に疑問を持たれたようですね。 では、「合成」で考えてみられたらどうでしょうか。 ２つのベクトルを合成する場合、作図の結果は平行四辺形になりますよね。 どなたかも書かれていましたが、『もっとも簡潔に表す』と平行四辺形になるわけです。 ・・・「合成」についての平行四辺形にも疑問をお持ちでしょうか？。（であればまた次回に。） その逆を使って、１つのベクトルを分解する場合は平行四辺形で表す方が、人間が理解し易い。 合成が「真」であれば分解も「真」である。
お礼
ありがとうございます 参考にさせていただきます
力とか速度のベクトルでなく、ベクトル自体に注目されているなら、これは数学板向きの質問と思います。という訳で、そういう態度で答えます。 ベクトルとは道具です。数学的道具です。そのアイデアの威力が最初に示されたのは、ふつうの直行座標系（デカルト座標）においてです。デカルト座標においてなら、平行四辺形（長方形）に分解される事に異論はないと思うのですが・・・。 その後、斜交座標系（座標軸が直角でない座標系）においても、平行四辺形分解を考えれば、デカルト座標と全く同じ取り扱いが可能なのが、わかります。 さらに任意の曲線座標を考えたとき、局所的には、デカルト座標か斜交座標として扱える事が、もう少し後でわかります。そのような応用が見つかったので、やっぱり「道具としてのベクトル」は、「平行四辺形分解できる物」として「定義しよう」となりました。 上記では、#2さんの答えの背景を、述べたつもりです。しかし、力とか速度のベクトルが何故「平行四辺形分解」できるのか？、と問われているなら、それは数学でなく物理の問題です。それは経験事実です。
補足
回答ありがとうございます 私のイメージしていたのは 力でした とするならば、回答して頂いた通り 平行四辺形に分解される理由の説明は 経験事実であって、＃2で回答して頂いた 方の説明は当てはまらないということで よろしいでしょうか
- cocacola2010
- ベストアンサー率67% (38/56)
図を見てください http://www.geocities.jp/newtondynam/sugaku/picsugakub/kaho.jpg ベクトルO→Pを分解するということは、右図のように ベクトルA、ベクトルBをつなぐとOからPに辿りつくということです。 ベクトルBの線分を平行に移動すると左図のようになり、これは必然的に 平行四辺形になります。
お礼
ありがとうございます 参考にさせていただきます
- fjnobu
- ベストアンサー率21% (491/2332)
どんな形にしても良いのです。ですが見た目で正確に分解するのは一番判り安いのではないでしょうか？ 単純な形にするのが間違い無いですよ。 だから、平行四辺形になります。
お礼
ありがとうございます 参考にさせていただきます
お礼
ありがとうございます 参考にさせていただきます