平行四辺形の射影(ベクトル解析)

質問

平行四辺形ABCDの辺CDの点Dから垂線を延ばし、辺ABの延長線との交点をEとするとき

4[AB][AE]=|AC^2-BD^2|　←すべてスカラー量

の関係が成り立つことを証明せよ。という問いです。ずっと考えているのですが解けないのでどなたかよろしくお願いいたします。

回答No.2

tecchan22

下のほうが簡単ですが、よく知られているこういう方法があります。

・左辺は，ＡＢベクトルとＡＤベクトルの内積の絶対値の４倍である。
・ＡＢベクトルとＡＤベクトルの内積は，余弦定理を用いて，(AB^2+AD^2-BD^2)/2　と表せる。
・それは更に三角形ＡＢＤで中線定理を用いて、（対角線の交点をＭとして），AM^2-BM^2　と表せる。
・これを４倍して絶対値をとれば，右辺になる。

回答No.1

noname#227064

点Cから辺ABへ垂線を下ろしたとき、その交点をFとします。
三角形ACFと三角形BDEに三平方の定理を適用すれば証明できます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
さっそくやってみます。