導関数

質問

何度も問題をといて、次の問題がどうしてもわからずに残ってしまったので教えてください。
問題１　次の関数の導関数を求めよ。

（１）ｘ^(sin-1x)(0<x<1),
（２）ｅ^(1/x^2)
（３）sin^(3)（２ｘ）
（４）ｆ（ｘ）＝｛０（ｘ≦０），ｅ^(-(1/x)(ｘ＞０)
（５)√（（1-ｘ＾2）/(１+ｘ^2)）(|x<1|)
（６）√（１＋（１/√ｘ））（ｘ＞０）
（７）ｘ＾ｘ（ｘ＞０）
（８）ｘ＾(sinx) (x>0)

テスト範囲なんですが、わからず残ってしまっているので教えてください。

回答No.6

ferien · ベストアンサー

＃２さん、回答ありがとうございました。とても参考になりました。

ｙ＾2を微分すると２ｙｙ’となるのは、＃２さんの説明の通りです。

>(５)（６）は，２乗して微分して，そのあとが分かりません。教えてください。

（５）２乗して微分すると、

２ｙｙ’＝－４ｘ／（１＋ｘ＾2）＾2　となっていると思います。

ｙ’＝（１／２ｙ）・｛－４ｘ／（１＋ｘ^2）^2｝　

ｙ＝√（（1-ｘ＾2）/(１+ｘ^2)）なので、１／ｙ＝√（（1+ｘ＾2）/(１-ｘ^2)）　ｙの分母と分子を入れ替えたもの

ｙ’＝－２ｘ・√（（1+ｘ＾2）/(１-ｘ^2)）・｛１／（１＋ｘ^2）^2｝
　　＝－２ｘ・（１＋ｘ^2）^(1/2)／（１－ｘ^2）^(1/2)・（１＋ｘ^2）^2　

（１＋ｘ^2）^(1/2)で約分します。
　　＝－２ｘ／（１－ｘ^2）^(1/2)・（１＋ｘ^2）^(3/2)

ここから、分母だけの話。　以下のように書き換えて変形していきます。

分母＝（１－ｘ^2）^(1/2)・（１＋ｘ^2）^(1/2)・（１＋ｘ^2）
　　＝｛（１－ｘ^2）・（１＋ｘ^2）｝^(1/2)・（１＋ｘ^2）
　　＝（１－ｘ^4）^(1/2)・（１＋ｘ^2）

元の式に戻すと、
よって、ｙ’＝－２ｘ／（１－ｘ^4）^(1/2)・（１＋ｘ^2）

（６）２乗して微分すると、

２ｙｙ’＝（－１／２）／ｘ^(3/2)

ｙ’＝（１／２ｙ）・（－１／２）／ｘ^(3/2)
　　＝（－１／４）／ｘ^(3/2)・ｙ

ここからは、分母の話です。まず、

ｙ＝√（１＋（１/√ｘ））＝｛１＋（１／ｘ^(1/2)）｝^(1/2)　と書き換えます。

また、以下のように分母と分子に分けます。
ｙ＝｛（ｘ^(1/2)＋１）／ｘ^(1/2)｝^(1/2)

ここからは、上の式のルートの中（｛　｝の中）の話です。

ルートの中＝（ｘ^(1/2)＋１）／ｘ^(1/2)　の分子と分母にｘ^(1/2)をかけます。

（ｘ^(1/2)＋１）・ｘ^(1/2)／ｘ^(1/2)・ｘ^(1/2)
＝(ｘ＋ｘ^(1/2))／ｘ　

これをルートの中へ戻し、さらに分母と分子を分けるように書き換えます。

ｙ＝｛ｘ＋ｘ^(1/2))／ｘ｝^(1/2)　
　＝（ｘ＋ｘ^(1/2)）^(1/2)／ｘ^(1/2)　

分母に戻ります。ｙのところへ代入し式変形します。

分母＝ｘ^(3/2)・ｙ
　　＝ｘ^(3/2)・｛（ｘ＋ｘ^(1/2)）^(1/2)／ｘ^(1/2)｝
　　＝｛ｘ^(3/2)・（ｘ＋ｘ^(1/2)）^(1/2)｝／ｘ^(1/2)
　　＝｛ｘ・ｘ^(1/2)・（ｘ＋ｘ^(1/2)）^(1/2)｝／ｘ^(1/2)
ここで、ｘ^(1/2)で約分すると
　　＝ｘ・（ｘ＋ｘ^(1/2)）^(1/2)　これを元の式の分母に戻すと

よって、ｙ’＝（－１／４）／｛ｘ・（ｘ＋ｘ^(1/2)）^(1/2)｝

両方ともこのように式変形していくと、＃２さんの答えと一致します。

かなり煩雑ですが、がんばって読んでみて下さい。（一度書いてみると分かると思います。）

何かあったら質問お願いします。

回答No.5

info22_

#2です。

(1)
>x^(sin^(-1)x)(1/(√(1-x^2)・log(x)+（sin^(-1)x)/x))
間違い。括弧の位置がずれていませんか？
正解：[x^{sin^(-1)x}]*[{1/√(1-x^2)}*log(x)+({sin^(-1)x}/x)]

(2)
> -(2e^(1/x^2))/x^3
合ってる。

(3)
> 6sin^2 (2x)
間違い。sin(2x)を微分するのを忘れてる。
正解：6cos(2x)sin^2 (2x)

(4)
>f'(x)=｛0（x≦0），e^(-1/x)(x>0)
>変な答えのような気がするのですが，こうなりました。
x≦0の方は合ってる。
x>0の方は間違い。(-1/x)の微分忘れてる。
正解：{e^(-1/x)}/x^2

(5)
{√((1-x^2)/(1+x^2))}'={((1-x^2)^(1/2))*(1+x^2)^(-1/2)}'
={(1-x^2)^(1/2)}'*{(1+x^2)^(-1/2)}
+{(1-x^2)^(1/2)}*{(1+x^2)^(-1/2)}'
=-x{(1-x^2)^(-1/2)}*(x^2+1)^(-1/2)
-{x(1-x^2)^(1/2)}*(x^2+1)^(-3/2)
=-2x/((x^2+1)√(1-x^4))

(6)
{(1+x^(-1/2))^(1/2)}'
=(1/2){(1+x^(-1/2))^(-1/2)}(1+x^(-1/2))'
=(1/2){(1+x^(-1/2))^(-1/2)}(-1/2)x^(-3/2))'
=-(1/4){(1+x^(-1/2))^(-1/2)}*x^(-3/2)
=-(1/4)/{x√(x+√x)}

>ｙの微分は，２ｙy’となるのはどうしてですか？
なりません。
(y^2)'ならなります。
(y^2)'={d(y^2)/dy}*(dy/dx)=2y*y'

(7)
(x^x)'={e^(xlog(x))}'={e^(xlog(x)}(xlog(x))'
={e^(xlog(x)}{x*(1/x)+x'*log(x)}
=(x^x){1+log(x)}

(8)
{x^sin(x)}'={e^(sin(x)log(x))}'
={e^(sin(x)log(x))}(sin(x)log(x))'
={e^(sin(x)log(x))}{(sin(x))'*log(x)+sin(x)(1/x)}
={x^(sin(x))}{cos(x)log(x)+(sin(x)/x)}

回答No.4

ferien

済みません。訂正です。

>（１）（２）（３）（７）（８）は、対数微分法でできます。

は、（１）（２）（４）（７）（８）は、対数微分法でできます。　です。

（３）は、合成関数の微分です。

補足

(1)x^(sin^(-1)x)(1/(√(1-x^2)・logｘ+（sin^（-1）x）／ｘ))
（２）-（２ｅ＾（１／ｘ＾２））／ｘ＾３
（３）６sin＾（２）（２ｘ）
（４）ｆ’（ｘ）＝｛０（x≦０），e^(-1/x)(x>0)
変な答えのような気がするのですが，こうなりました。

(５)（６）は，２乗して微分して，そのあとが分かりません。教えてください。
ｙの微分は，２ｙy’となるのはどうしてですか？

回答No.3

ferien

（１）（２）（３）（７）（８）は、対数微分法でできます。

例えば、（７）ｘ＾ｘ（ｘ＞０）　　ｙ＝ｘ＾ｘとして、　両辺の対数をとると、

ｌｏｇｙ＝ｌｏｇｘ＾x＝ｘ・ｌｏｇｘ
両辺を微分して、
（１／ｙ）・ｙ’＝１・ｌｏｇｘ＋ｘ・（１／ｘ）
　　　　　　　　＝ｌｏｇｘ＋１　　
ｙ’＝ｙ（ｌｏｇｘ＋１）
ｙのところにｘの元の式を入れます。　よって、ｙ’＝ｘ＾ｘ（ｌｏｇｘ＋１）

（２）（４）は対数を取らないでやるのが普通みたいですが、この方がわかりやすいです。

（５）（６）は、ルートがついていてやりにくいので、はじめから２乗して解きます。

(５)√（（1-ｘ＾2）/(１+ｘ^2)）(|x<1|)

ｙ＝√（（1-ｘ＾2）/(１+ｘ^2))　とおいて、両辺を２乗します。
ｙ＾2＝（1-ｘ＾2）/(１+ｘ^2)

両辺を微分する、
２ｙｙ’＝（（1-ｘ＾2）/(１+ｘ^2)）’

右辺を微分すると－４ｘ／(１+ｘ^2)＾2
ｙ’＝（１／２ｙ）・｛－４ｘ／(１+ｘ^2)＾2｝

答えを出すときは、ｙに元のｘの式を入れます。

これでやってみて下さい。

回答No.2

info22_

いずれも合成関数の微分法の公式や積の微分公式を使えば良いですね。
{f(g(x))}'=f'(g(x))g'(x)
{f(x)*g(x)}'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)

なお、
(1)は
　ｘ^(sin^-1(x))=e^{sin^-1(x)*log(x)}
と変形してから合成関数の微分公式と積の微分公式を用いて微分します。

(7)は
　x^x=e^(xlog(x))
と変形してから合成関数の微分公式と積の微分公式を用いて微分します。

(8)は
　ｘ^(sin(x))=e^{sin(x)log(x)}
と変形してから合成関数の微分公式と積の微分公式を用いて微分します。

他は、合成関数の微分公式と積の微分公式の片方または両方を用いて微分すれば良いでしょう。

とりあえず自分でやってみて、わからなかった場合は
途中計算を書いて補足で質問して下さい。

回答No.1

Tacosan

微分は機械的にやるだけでいいから頭を使わないはずなんだけどなぁ....

それぞれで「こんなふうにやればよさそう」というのはありませんか?